Soit par exemple

on décomposera cette fonction comme il suit : y = U' , u=:av-\-b,

Appliquant les règles précédentes , il viendra

dy = 1111 "— 'du, duxxadv, dv=^mx'^—'dx\

et en substituant • • ;

du = a . mx^'dx

. amx^—'dx.

Mais l’usage du calcul montrera bientôt qu’il est superflu de poser ces équations , et que l’on peut opérer immédiatement sur les quantités contenues dans la fonction proposée'. Ainsi l’on dillérentiera d’abord par rapport à ce qui donnera

dy n[ax^’\‘bY-' . rf(a.r" + ô).

Puis pour former la différentielle on dlf-

férentiera par rapport à a:”, ce qui donnera

d[ax^-{‘b)=a .d{x^),

Enffn l’on a

d {x^) =î mx*—'dx.

La substitution siiccessive de ces valeurs conduit à celle de dy.

•Soit

y = sin.

Pour suivre l’esprit des règles énoncées , on doit donc écrire

ÛJ7 • I ^

• = sin.r; t=z — , = v=l — a'x'.

ce qui décompose la fonction proposée dans les fonctions simples qui y sont contenues , fonctions dont on connaît immédiatement les différentielles. On aurait ainsi

, , , u.adx — ax.du , dv ,

dy=-coi.tdt, dt= >■, du^ ~t — a’.üxdx.

et en substituant

du = •

à^.xdx

dt =

Vi—a'x'

adx

, (1— a’x*)* ax

dy = cos.

adx-

Vi—a'^x' (1— a’x*)>

Mais sans poser les équations précédentes , on peut opérer immédiatement sur les fonctions contenues dans la fonction proposée. Ainsi dilFérentiaut par rapport à

, on a

dy = co,. ,d( —

Considérant ensuite

forme - , on a

comme une fraction de la

a‘x'. adx — ax. d |/ 1 — a'x'

2 kl— a*x*

On remarque ensuite que et enfin que

d (1 — a’x’) = ^ a’. 2xdx.

Donc en substituant chaque expression dans l’expression précédente , il vient \

a'xdx

d Vi—a'x' = —

yï^'

\yi—a'x') (1— a*^*)î

. dy=zcoa.

{i—a'x')\ ax ' adx

Soit encore

o«*. («or.

e désignant , comme on l’a indiqué n« 16 , la base des logarithmes népériens , et u, deux fonctions de la variable indépendante x. Differentiant en premier lieu par rapport à au’ tang. on a

dy^ e d (au*, tang.

• , ^ ,U -hvV

Le produit au tang. étant difïérentié par rapport

aux deux facteurs aii et tang. il vient

d (au-, tang. = td,f.^d(du-Hau-.dt«,f.^,.

On a ensuite

d[au') = a.2udu, et rftang. -!L. = î£±^*.

cos.

puis

et enfin

Sùbstituant chaque résultat dans l’expression précédente , il yient ’ ^

üuv{vdu — udv) ,

d taiig.

2 u(i{iidu — iidfi)

{u'+d)\ cos,

/ m’ \ / m’ , u'i>{vdu — ndv) \

d\ aa.tang.-î — ; l=2a/tang.— — ;.uda+— < — r \»

u‘t’{vdu — udv) \

. )iin ♦ kt

* au».t«ng. ' ‘ '

2rt^

Afin que la dilférentiélle demandée soit exprimée au moyen de la diflércntielle djc de la variable indépendante, on mettra ensuite à Ja place de. du sa valeur

-7- dx , et à la place de dv sa valeur dx-

O.X *;r ' .'«ni.T i-j mv ax: '*•

Les exemples précédents suffisent pour faire connaître la marche di^’operhtioA dqnt il.s'tigit , opération qu’un Tréqucnt usage rèndlrès-facile^'" "

IV. DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE PLDSIEDRS J; VARIAÏtÇS INDBPENDAJXX^^- ^

38 . Nous concevons , en revenant aux notions présentées dans le h° 2 , qu’il existe une seule équation entre plusieurs variables. Toutes les valeurs' de ces variables sont alors arbitraires, à l’exception d.’une seule.

variable dont' on suppose 'la valeur déterminée par l’équation , après que l’on s’est donné arbitrairement les valeurs de toutes les autres , est fonction de ces dernières, qui sont les variables indépendantes, dette relation s’exprime en écrivant

U, V, X, y,., désignant les variables indépendantes, et z la variable qui est fonction des autres. On doit donc imaginer qu’à chacune des variables u, y,x, y,.. s sont attri- Iniées toutes les valeurs comprises entre oc et -f- oo, et se représenter la succession des valeurs correspondantes que prendra la fonction z.

39. Lorsque les variables indépendantes sont au nombre dé deux .seulcraeht , et que l’on a

la géométrie donne encore le moyen de se représenter d’une manière sensible la succession des valeurs de la fonction z. Concevons dans l’espace trois axes qui se croisent à angles droits en un point o , Jig. 2. On regardera les variables indépendantes x et^ comme deux abscisses dont les valeurs arbitraires sont portées en op et oq sur les premiers axes , et z comme une ordonnée dont la valeur déterminée par la relation (x ,y) est portée en or sué le troisième axe. Les deux valeurs attribuées à X et y déterminent un point m situé dans • lé plan des xjr, et en élevant au point m une perpendiculaire au plan des xy, dont la longueur mM soit égale à or, la position du point M sera telle qu’il aurait respectivement pour projections sur chacun des axes les points

p, q , r , ou jqu’il serait la commune intersection de trbis plans , dont le premier serait mené par le point p parallèlement an plan des^z, le second par le point -q parallèlement au plan des xz, le troisième par le point r parallèlement au plan des En attribuant à xet^ toutes les valeurs possibles depuis — oo jusqu’à + oo, le point m prendra toutes les positions possibles dans l’étendue du plan des xy. Les valeurs de z détermineront les positions correspondantes du point M , et l’ensemble de ces positions formera une surface dont la figure fera juger de la nature de la fonction z=f et de la marche progressive de ses valeurs.

Lorsque le nombre des variables indépendantes surpasse 2 , il n’est plus possible de trouver ainsi dans la géométrie une image sensible de la nature et des propriétés de la fonction. Diverses recherches de physique - donnent lieu à considérer trois et même quatre variables indépendantes ; qiais , lorsque le nombre de ces variables est plus considérable , les questions n’appartiennent plus qu’à l’analyse, dont rien ne restreint la généralité, et qui embrasse toutes les combinaisons auxquelles peut donner lieu la considération des grandeurs.

àO. La dllférentiation des fonctiçns de plusieurs variables indépendantes dépend des memes notions qui ont été présentées dans les articles précédents. Chaque variable indépendante «, e,x,^,....est supposée croître progressivement par dilTérences infiniment petites du , dv, dx , dy^ . . . dont chacune conserve une valeur constante , mais qui n’ont entre elles aucuns rapports déterminés. La variable z varie en conséquence de la quantité infiniment petite , dont la valeur s’obtient toujours par

)a considération de la limite- du rapport des accroissement de la fonction et de chaque variable indépendante. Soit la fonction

En supposant que x et^ croissent respectivement des quantités quelconques ûx et la variation correspoûdaute ^z^ de la fonction pourra se décomposer en deux parties , l’une provenant de la variation x seule , l’autre de la variation dejr- en effet on peut écrire

Az= [/(x+Ax,7) j-)]+[/(x+ax,^4-V)-:/’(^+i-^<.r)] ,

ou , ce qui revient au même , ■

^ /(x+ax.^+aj>-)— /(x+Ax^)

ax l^jr

Admettons maintenant que les difïérences £x et yjr s’approchent .indéfiniment de zéro , le rapport

— aura pour limite > conlormement a

ce quon a vu dans 1 article et le rapport

/(x+^x^r+Ar)-/(-y+ax,y) » by

aura pour limite , d’après le

même raisonnement qui a été fait dans le n° 26,

d.f[xy)

L'expres^on de la différentielle demandée est donc

que l’on peut écrire ainsi :

' dz d Z

dz= -dx-\.^dy.

dx dy '

Si la fonction proposée contenait trois ou un plus grand nombre de variables, on lui appliquerait les mêmes considérations en sorte que posant ■

on a également

* = J, + i£iw.) J-Aw) J

dv dx dy

que l’on écrit d’une manière plus simple •• •

dz dz ,

dz = ^ di> + ~ dx + — djr..

dv ' dx dy

Et ainsi de suite s’il y avait un plus grand nombre devariables . ‘

Remarquons que , dans cette formule , le terme ^ dv

représente la différentielle de la fonction proposée que l’on trouverait en regardant v comme seule variable;: c’est ce que l’on nomme la di^érentieile -partielle de la fonction Z prise par rapport à v. De même les termes

^ dx et ^ djr représentent les différentielles partielles-

de la fonction z prises respectivement par rapport kuc.et à^. La somme de ces différentielles partielles form'e la

différentielle totale dz. Les fractions ^sont ici

des signes analytiques qui représentent respecflivament les coefficients diHérentielsde la fonction z pris en regardant V seule comme variable , x seule comme variable , jr seule comme variable. Le dz qui est au numérateur représente la diflércntielle partielle de z prise par rapport k V, à X ou h y, et ne doit pas être confondu avec

le dz qui est dans le premier membre de l’équàtion , et. qui représente la diflerentielle totale de la fonction Z. - ' '

Remarquons que , d’après l’indépendance des valeurs des variables v, x,y, rien n’oblige à supposer qu'elleavar rient toutes à la fois. Ainsi celui qui demande la difi'érentielle de la fonction z =f{v, x,y, ) indiquera si cette difiérentielle doit être totale , auquel c;»s ell e est exprimée généralement par la formule précédente , ou bien si elle doit être prise par rapport à une , ou à quelquesunes seulement des variables. On' supprimeniit alors, dans la formule dont il s’agit , les termes relatifs aux variables qui seraient censées ne poijil subir d’accroissements.

42. La diiiérentiation des fonctions de plusieurs variables indépendantes étanttramenée , d’après ce qui précède , à dilTérentier la fonction par rapjmrt à une des variables seule, on appliquera sans difficulté, dans chaque cas particulier, les règles exposées dans l’article précédent.

^ 43. Lorsque la fonction proposée ne contient que deux

variables indépendantes , comme - ,

les diverses parties de la différence totale - .

dz dz

dz=^ dz+^dy dx .dy-'

sont représentées par la géométrie , ctmforméiiient à ce qu’on a vu n° 39. Soit m (fig. 3) le point du plan des xjr., dont les coordonnées op, oq représentent x et y, et M le point de .la surface projetée en m , dont l’ordonnée

or représente la valeur de fonction z. Les accroissements Ajc et Sj sèront représentés par m/ et /»;*". Soit m n’. la projection sur le plan des xz de la courbe d’intersection de la Surface par un plan mené par le point M parallèlement au plan des xz. Soit également mn la projection syr le plan Aesyz de la courbe d'intersection de la surface par un plan mené par le point M parallèlement au plan des^j^z. Il est visible que n'r représente la variation que subirait l’ordonnée z , si l’abscisse x seule croissait de Aa: ou ; et que »"r" représente la variation que subirait cette même ordonnée si l’abscisse^ seule croissait de A^ountfi". La vjiriation totale de l’ordonnée z, c’fcst-à-dire celle qui résulte de l’accroissement simultané des deux abscisses , est représentée par la difl'érence entre l’ordonnée du point Mde là surface qui se projette en m et l’ordonnée du point de cette même surface qui se projette en n. Lorsque les accroissements soiitsuppo-

. dz

ses inbniment petits , rir exprime la partie -j- dx de la

difl'érentielle totale , et le coefficient différentiel

par rapport à x est représenté par la tangente trigono-

métrique de l’angle n'm'r'. De même n"d' représente la