V. DIFFÉRENTI&TfON DES FONCTIONS IMPLICITES

44..' Une fonction est appelée explicite lorsque son e»? pression analytique est donnée au moyen des quantités constantes et variables dont dépend sa valeur. Ainsi l’on dit que la fonction z des deux variables x,^ est explicite, ou que cette fonction est donnée explicitement , si l’on a l’équation

Mais si la fonction z est engagée <Tvec les variables x,y dans une équation telle que

qui n’est point résolue par rapport à z , cette fonction est alors appelée implicite, et l’on dit que sa valeur est donnée implicitement ; on entend par cette expression que la valeur de la fonction z . quoique déterminée quand on a fixé celle des variables x cly, n’est point représentée par une expression analytique formée de ces variables. On peut difierentier les fonctions implicites aussi faci-' Icment que les autres , c’est-à-dire obtenir l’expression de la difi’érentielle de la fonction sans résoudre l’équation dans laquelle elle est engagée.

Revenons aux notions qui ont été présentées dans le n“ 2. La nature de chaque question détermine? toujours le nombre des variables , aussi bien que les variations

«jui existent entre elles , et qui sont exprimées par des équations. Le nombre des variables étant m , et le nombre des équations étant n, m — n des variables sont indépendantes ; les n autres variables sont fonctions des premières, On a distingué celles des variables qui sont regardées comme indépendantes , et celles qui en sont des fonctions ; et cette distinction subsiste dans tout le cours 9e l’opération sans aucun changement.

Cela posé , considérons d’abord le cas simple d’une seule variable indépendantes et de la fonction entre •lesquelles il existe l’équation

Cette équation devant subsister, quelle que soit la valeur attribuée à x, on aura évidemment

en désignant toujours par la variation delà fonction^, correspondant à l’accroissement lîs attribué à x. On aura donc aussi

f[x+Hx^y+t^y)—f{x,y)

As

équation qui subsistera , quelle que soit ûs, pt , par conséquent, qui aura lieu pour l’a limite vers laquelle tend Iç premier membre , lorsqpe ^s tend à devenir égale à zéro. Or, cette limite -n’est autre chose que le coefficient

différentiel - du premier membre de l’équation

proposée, dont l’expression est ici, d’après le n'’ 26 et en remarquant que est fonction de la variable indépen-

Digilizct ' C.oogli

On , donc l'c, nation ’ dx ify dx V

d-f{.Xyy) df{x,y)

dx dy dx '

que l’on écrit souvent pour abréger

•LL ^ iL = 0

dx dy dx ’

en indiquant seulement par la lettrcy lâ fonction proposée y'(ar,^) , et dont on déduit

dy dx

t dx~t^

dy

pour l’expression du coefficient diflérentiel ou de la fonction dérivée dej)^.

Nous remarquerons d’ailleurs que ce coefficient diffé~ rentiel se trouvera exprimé ail moyen des deux variables X et y.

^ , df df dy ,

La quantité ~~T n est autre chose que la

dx ■ dy dx ^

différentielle de la fonction y, où l’on a supprimé le facteur constant dx. Cette différentielle est égale à zéro , et il est évident , en effet , que l’équation f{x, y)=o devant subsister pour une valeur" quelconque de x , l’expression d’une variation ûnie ou infiniment petite que subit Ig, fonctiony(jj, jy) , par l’effet d’un accroissement fini ou infiniment petit attribué à .r, doit être nulle. En général , l’équation y=o désignant une fonction quelconque de plusieurs variables, entraine toujours l’équa-

tiou df=o , en désignant par la différentielle de là fonction f, qui peut être totaléou partielle. ,

ü5. Considérons maintenant le cas général où l’on aurait plusieurs fonctions et plusieurs variables indépendantes. Soient , par exemple , les deux équations

dans lesquelles p* et jr soient des variables indépendantes, jr et Z des fonctions de u et x , données implicitement par ces équations. Les difléfentielles des deux fonctions y et F devant être nulles d’après ce qui vient d’être dit, on aura en les prenant conformément aux règles exposées dans les articles précédents , et se rappelant que y et fsont fonctions de v ci x,

dydi> dzdv) yrfjr dy dx dzdxj

/ dF (W dy dF dz\ / dF dF dy <fF dz\

dy d^ d Z dv) dy dx^.d zdx) ^ ~°-

Dans chacune de ces équations , l’on peut supposer séparémentÉ?^'=o,ou<fJC=o. Elles équivalent donc à quatre équations distinctes qui déterminent les valeurs des

dy dy dz dz dv’ dx’ dv' dx' Ces coefficients différentiels se trouvent exprimés au moyen des quatre variables i>, X, y, z.

Les valeurs des coefficients diflérentiels partiels des fimetions y cl z étant ainsi obtenues , on formera les différentielles totales de ces fonctions , en substituant les valeurs dont il s’agit dans les expressions générales

quatre coefficients différentiels partiels

, dy dy. , , - . dz ,

dy =z dv Jr -r~ dx. dz = — rfv + -7- dx.

dv dx dv dx

Ces considérations s’étendront facilement aux cas où il y aurait un plus grand nombre de .variables et, d’équations.