En mettant d’ailleurs sous la forme

■ir.— AT. i^y—^y

Sx'

sx\

on voit que iSiX diminuant et devenant plus petite que tQute grandeur donnée . chacune des quantités . ■ ■

et — ' ■ a pour limite le coefficient différentiel

Sx'

Ar.— AT' AT'— Ar

du second ordre - 7 - 7 ; et que le rapport

SxT

dx' * * ' ..

a pour limite le coefficient dillérentiel de la fonction

, c’est-à-dire j — . On a donc, en représentant

par t^y , ce que devient lorsque i>x devient dx ,

dx^.

expression qui s’écrit d’une manière plus simple

æy = ^dx‘.

^ dx?

d?y est la différentielle du troisième ordre de la fonction

dx' tPy

proposée^, et la fonction— ou est le coefficient

différentiel du troisième ordre de cette même fonction La di(lérentielle du troisième ordre est égale au produit du cube de dx par le coefficient dillérentiel du troisième ordre.

Le coefficient diOerentiel du troisième ordre s’exprime également par y"' ou par J'" (x).

52. On obtiendra évidemment la différentielle du troisième ordre d’une fonctiou proposée en différentiant trois fois de suite cette fonction, la différentielle dx étant regardée dans la seconde et dans la troisième différentiation comme ùn facteur constant.

53. Si l’on considérait cinq valeurs consécutives de la variable indépendante, et les cinq valeurs correspondantes de la fonction y, on se trouverait conduit à la différence du quatrième ordre -y, dont l’expression serait composée de quatre facteurs, qui tous tendraient h devenir nuis lorsque x tendrait elle-même à devenir nuUe. Cette différence quatrième diminuerait donc, lorsque ùx approcherait de zéro, beaucoup plus rapide-

ment <jue la différence troisième, qui n’est composée que de trois facteurs ayant zéro pour limite. En désignant par YiPy ce que devient lorsque àx prend la valeur infiniment petite désignée par , on aurait

d*jr = ^ dx* ,

, représentant le coefficient différentiel du quatrième

ordre de la fonction proposée , c’est-à-dire le résultat que l’on obtient en diflérentiant quatre fois de suite cette fonction, dx étant reg.ardée comme un facteur constant, puis divisant parWx*.

Et ainsi de suite, en considérant un plus grand nombre de valeurs, et des différences d’un ordre plus élevé.

54. Oii voit par ce qui précède qu’une fonction quelconque y=/’(x) peut être regardée comme donnant naissa^nêe à une suite indéfinie de différentielles représentées par

qui se déduisent de la fonction même et les unes des autres par l’opération que nous avons appelée différentiation. L’expression de ces différentielles met d’ailleurs en évidence la subordination de leurs valeurs , puisque

dy fty d^y

les coefficients différentiels

dx' dx" dx^

etc., qui sont

des fonctions finies de la variable x , s’y trouvent multipliés par des puissances de plus en plus élevées de la quantité infiniment petite dx. . Cette subordination existe, bien que toutes les différentielles d^y, d'y, etc. , soient également regardées comme des quantités qui

xliQlèrent de zéro moins que toute grandeur donnée En effet , la supposition que dx diffère de zéro moins que toute grandeur donnée , ou que dx est infiniment petite , entraîne celle que les rapports de (Tjr h dy, de d'y à etc. , diffèrent aussi de zéro moins que toute grandeur donnée ; c’est ce que l’on exprime en disant que ces quantités sont infiniment petites les unes par rapport aux autres , ou qu’elles forment une suite d’infiniment petits d’un ordre de plus en pli<s élevé.

55. Nous remarquerons qu’en supposant la fonction jr=f[x) représentée par l’ordonnée d’une courbe dont x est l’abscisse, la direction de I:i courbe et le côté de la figure vers lequel elle présente sa convexité sont déterminés, dans une étendue fort petite de part et d’autre du point m , par le signe seul des deux différentielles du premier et du second ordre dy et d'y, c’est-à-dire par le signe seul des coefficients dilfércntiels ou fonctions

(iy H* y

dérivées du premier et du second ordre Les

diverses combinaisons (|ui peuvent exister à cet éeard sont indiquées dans les ligures 5 , 6, 7, 8, 9, 10 , 11 et 12.

Fig. 5 et fig. 6, les coefficients différentiels sont posifiy y

tifs; fig. 7 et /ig. 8 , ^ est négatif et est positif ;

jig. 9 et jig. 10, ^ est positif et-^» est négatif \ fig. 11

et^g. 12, les deux coefficients différentiels sont négatifs.

cP y ^ ^

On voit que est positif quand la courbe présente sa

convexité au bas de la page, et négatif lorsque la courbe présente sa concavité au bas de la page. On suppose ici , suivant l’usage ordinaire , les y positives portées de bas en haut.

Différentienes des divers ordres des fonctions simples . *

56. Nous appliquerons les notions précédentes aux fonctions simples, dont la différentiation est l’objet de l’article II.

En considérant, en premier lieu, la fonction ar», on a

' dKx-

= m ("*— 1 ) («1—2) JT"-

— «1 («1 — 1) («» — («» — 3)ar"-<,

Eté.

Cette suite de coefficients différentiels se prolongera à l’infini si le nombre m est négatif, ou si , étant positif, il est irsationnel ou seulement fractionnaire. Mais si /»çst un nombre entier positif, on a *

dx^

La fonction se trouvant réduite à une constante , les , coefficients différentiels suivants sont alors nuis.

67. La fonction log. x , le logarithme étant pris dans un système quelconque , ou dans le système des logarithmes népériens , donne

d. log. X

d.lx

^r.iog.x

loge

d^.lx

dx' ~

ef.log. j: