Les fonctions a* et a . donnent
= la.a“ ,
dx
dx -
cT.a*
dx'
— {la} .a ,
dx'
dA.a^
dx^
= {là^.a” ,
dx^
Etc.
Etc.
Et si le nombre a devient e , ou la base des logarithmes népériens , on a .
dx '
dX^
dx' * ’
sp- " ’
dKe-
dx^
dx^ ~ ^ ’
Etc.
Etc.
La diflérentiation, comme on l’a déjà remarqué n“22, reproduit constamment la fonction e*, et plus généralement
la fonction èe* qui seule présente cette propriété. Lorsque l’exposant variable x est affecté du signe — , la fonction primitive est également reproduite , mais les coefficients diflérenticls sont alternativement négatifs et positifs.
59. Qn. trouve pour les fonctions trigonométriques sin. X et cos. x
sin.j: . / d.ca%.x / 7 r\
— cos..r sm. j, — - j,
. , . , , æcoi.x
dx' ~ ), — — = — cos.j7 = cos.
d .Sin.jr / ^ — \ ^3 nnc -y r O
di^ ___=s,n. j:=cos. J,
^*-sin.x d^xos.x
dx* *”’■ ^ = cos. x= cos. ( x+2n),
dx' = «os • -^ = sin • ( •*•+— ) , — - sin ,a:=cos. ^
Etc.
. f 3:t> Jr=sin. ,
' dx' ■ 3-\ d?.co'i.x
:=cos.
«P.sin.jr f
-^ = cos.a. = sm.(^.z+j,
Etc.
Les fonctions primitives reviennent après deux différentiations affectées du signe — . Après quatre différentiations, elles reviennent avec leur signe.
60. On doit avoir présentes à l’esprit ces propriétés remarquables. Il est également utile de connaître la figure de.s courbes qui représentent les fonctions simples dont il s agit : pour la discussion de ces courbes l’expression des coefficients différentiels des deux premiers ordres donne de grandes facilités, conformément à ce qui a été dit n” 55.
Soit en premier lieu
dy
= mx^-
' ' dx
fljcr
La courbe, dont x est l’abscisse etj>^ l’ordonnée, présentera diverses figures, suivant la nature de l’exposant m. Nous supposerons d’abord cet exposant positif et plus grand que l’unité.
1° Si West un nombre entier pair, ^ est positive quel
• 1 • 1 dy . ^y
que soit le signe de ar , ^ change de signe avec x,
est toujours positif. La courbe est représentée par la
fis- 13 -
2® Si m est un nombre entier impair , y change de signe avecx, ^ est constamment positif,’ change de signe avec x. La courbe est représentée parla fig. 14. 3" Si m est un nombre fractionnaire - , p et </ étant
entiers , la courbe est représentée par la fig. 13 lorsque p est pair et q impair, et par la fig. 14 lorsque p est impair et q impair. Mais si q est pair, la partie située du côté des X négatives n’existe pas, les valeurs de y correspondantes aux valeurs négatives de x étant alors imaginaires. J
61. En supposant , en second lieu, l’exposant m positif et plus petit que l’unité , ce cas différera du précéiPy
dent , en ce que sera négatif lorsque dans le cas précédent il était positif, et positif quand il était négatif.
La Jig. 13 sera remplacée par la /^. 15 , et la fic^. 14 par la fig. 16.
62. En admettant maintenant que l’exposant m soit négatif, c’est-à-dire que l’on ait
dy m ■
dx a-™ + ' ’ d* r m (w+1 ) dx'
m étant un nombre positif, on passera facilement des cas précédents à'ccux qui répondent à cette dernière supposition, en divisant l’unité [>ar les ordonnées des courtes que représentent les /%.13 et 14, 15ct 16. Les fi§. 13 et 15 seront remplacées par la //g. 17, et les fig. 14 et 16 par la fig. 18. Les axes sont ici des asymptotes aux branches de la courbe.
