On a également

grandes

y = cos. X,

— = — sm . j: ,

<Ty

dx'

= — cos. J.

Il est ^sez visible que Li figure de la courbe est parfaitement égale à la précédente , dans laquelle on aurait

déplacé l’origine des abscisses x de l’intervalle - , puisque

l’on a toujours

VII. DIFFÉRENTIELLES DBS DIVERS ORDRES POUR tES FONCTIONS DE PUtiSIEURS VARIABLES.

68. La notion des différentielles des ordres supérieurs s’étend facilement aux fonctions de plusieurs variables , puisque la différentiation de ces fonctions s’effectue toujours en opérant séparément par rapport à chacune des variables.

Soit en premier lieu, ■comme dans le n" 40 , la fonc-' lion

X eljr étant deux variables indépendantes. On a vu que l’oh obtenait pour cette fonction la différentielle du premier ordre totale exprimée par '

, dz , dz , : ic.

et formée de la somme des différences partielles ^ dx.

él-^dy, prises respectivement en regardant x seule comme variable etj- seule comme variable. Les fonctions désignées par -j— et ^ sont les coclEcients différentiels

partiels du premier ordre de la fonction z pris respectivement par rapport à x et par rapport hj'.

L’opération de la différentiation peut également s’appliquer à l’expression de dz , dans laquelle on regardera dx et dj^ comme des facteurs constants. Si l’on veut former la dilTérentielle totale, il faudra diff'érentier succes- , r dz dz

sivemeiit les lonctiona ^ ^ rapport a x et par

Digilized ay Googli

rapport à y. On aura donc pour la didérentielle totale du second ordre

üÿ <ip \ fdÿ dÿ \

Mais nous avons déjà représenté dans l’article précédent

,dz

le coefficient différentiel-^^ par : l’analogie con-

Ut —

1 • - - 1 . ^ ^ . ■ duit a représenter de meme — p-par-; — r-, ün écrit ^ dy ‘ cLxdy

' ^ dz ' ^ d ^ ^

également au lieu de lieu de •

Ainsi l’expression précédente devient

ou si l’on veut dtz

cTz

dxdy

eCz f cCz “ 2 \ J J « Z , .

Dans cette expression de la didérentielle seconde to-

taie de la fonction z , le signe représente le coefficient didérentiel du second ordre de la fonction proposée , pris en regardant x seule comme variable. Le signe (Ty

exprime que l’on a pris le coefficient didérentiel dü premier ordre en regardant x seule comme variable,

Ot Z

puis le coefficient différentiel de cette fonction ^ en re-^

gardant J' seule comme variable. Le signe exprime que l’on a pris le coefficient dillérentiel du premier

ordre ^ en regardant y seule comme variable , puis le

coefficient di0érentiel de cette fonction ^ en regardant

X seule, comme variable. Enfin représente le coefficient dillérentiel du second ordre de la fonction z pris en regardant^ seule comme variable.

69. Nous remarquerons maintenant que les deux coefficients différentiels — j- et - — -r- sont nécessairement dxdy dydx

égaux. En effet , en revenant ici aux notions présentées

dans lesn“*46 et suivants, on reconnaît que ^ est là limite vers laquelle tend

ùx àx ’

cCz

lorsque ix tend à devenir nulle. De même est la

limite vers laquelle tend

, f{x+àxy+ôy)—f(xy^ly) f\x+àxy)—f{xy) A’z àx &x

àxsy

lorsque et cy tendent à devenir nulles. Ou reconnaît dz

de même que ^ est la limite vers laquelle tend

^ f(-^<y+ày)—f{xy)

ày~ AT

ttz

foi'sque tend à devenir nulle ; et que est la 'limite vers laquelle tend ' .

/(-gyr+Ar)— :/’(-3^^r)

û’z àx ,

, ax '

lorsque Ax et liy tendent à devenir nulles. Or, cette dernière quantité ne dillérant point delà précédente, leurs

limites sont aussi égales entre elles. Donc — — — =— — —

, I dydx dxdy

Ainsi , le coefficient différentiel du second ordre pris par rapport aux deux variables xet^ est identiquement le même, soit que l’on dillérentie en premier lieu par rapport à X ou par rapport à y. C’est ce qu’on exprime en , disant que l’ordl^e des différentiations n’influe pas sur les résultats.

11 en résulte que l’expression de la diflérentielle du second ordre de la fonction proposée i, donnée dans le nu méro précédent , doit s’écrire

« fPz

70. L’opération, de La différentiation peut également être appliquée à cette expression , et pour avoir la dHférentielle totale du troisième ordre, il faudra diflérentier <Tz iTz cPz

les fonctions ' ^^xd^ ~dÿ' rapport a x et par rapport dij. En ayant égard à ■ la r proposition démontrée dans le numéro précédent , il viendra ^

dH= — dx^+3 dx'dŸ+S - — - dxdy'+ — dy*.

dx^ ^ doddy^^^ dxdy'

Ep continuant de la même manière , on trouTera en général

drz

d*z=-j — <ir*+n-T —dx'—'dY+ , ^ ,

djT' dar-'dy 1.2 dx*—'dy

expression dont l’analogie avec celle du développement de la puissance entière d’un binôme est évidente. On pourrait écrire.

’dz

en se réservant de changer, après le développement, dr' en d'z.

71. Les cas où il y aurait plus de deux variables indépendantes n!exigentpas de nouvelles considérations. Soit

■ par exemple ,

z=/{t>,xy) . “

On aura pour la différentielle totale du premier ordre *

d’après le n“ 41 ,

, dz , dz ' dz , •

dz=.-^-d^-dj,+ ^dy.^

En differentiant cette expression, où dx, «^doivent être regardés comme des facteurs constants , et