Soit en premier lieu comme dans le n" 43,, .l’équation
dans laquelle x est la variable indépendante et y une fonction de x donnée implicitement par., cette équation. La question consiste à trouver, sans résoudre l’équation , les expressions des coefficients difléronticls
"dx'' ~dx^ ’ fonction On a déjà vn dans
le numéro cité, que l’on avait, par une diflérentiation, l’équation différentielle du premier ordre
dy dx
dx d f'
dy
Si l’on différentie une seconde fois, en se rappelant d f d f ,
que les fonctions contiennent les deux varia-
bles X , y, et que y doit être regardée comme fonction de x , on trouvera l’équation différentielle dn second ordre
iL +0 Æ. . ^ ^ V4. ^,£r - 0
^ dxdy dx dy\dx)^ dy djd~ ’
elx dy dx
dy
d’pù Ton tiré après avoir mis pour ^ la valeur précéder) lé
da*
dx\dYj dxdy dx dy dy'\dx)
Cette expression s’obtiendrait également en diflérentiant
la valeur de -i-.
dx
On continuera de la même manière pour former lés coefficients diflérentiels des ordres supérieurs au second-
73. Les mêmes notions conviennent aux Cas où il y aurait un plus grand nombre de Variables et d’équations proposées. Tout se réduit à appliquer le procédé de la différentiation , afin de former des équations différentielles d’un ordre de plus en plus élevé, et dont on pourra toujours déduire les expressions des coefficients différentiels des fonctions qui ne sont données que d’une manière implicite. Nous considérerons le cas le plus simple après le précédent. Soient les deux équations f{xy,z) = 0 ¥{xy,z) = 0,
dans lesquelles X est la variable indépendante .’j' et 2 deux fonctions de cette variable déterminées par ces équa'lions. En les diflérentiant une première.fois , il viendra
dx dy dx dz dx ’
dF dF dy dF dz
dx dy dx dz dx - ’
équations du premier ordre , d’où l’on déduira par l’élimination
à.f df dF
dy dx dz dx dz dz dx dy dx dy
Sx dx~~ df dF dF df
dy dz dy d z dy dz dy d%
Ën difTérentiant les équations précédentes , on trouvera ensuite
^/~ g <^f dy æf dz æ/fdy's' <rf dy dz
dx' dxdy dx dxdz dx dy'\dx) dydz dx dx
ændz'' df d'y dfæz dd\dx) dy dx' dz dx' .
efF ■ dF dy ^ dF dz dF (dyf „ dF dy dz
dx' dxdy dx dxdz dx dy'\dx) dydz dx dx
dFfdz\' dF dy dF dz dz'\dx}’^ dy dx'^ dz dx'
équations du second ordre , dont on tirera les expres-
dy dz , . - dy d Z
sious de et , apres avoir substitue pout ^ et ^
les valeurs précédentes.
Les mêmes expressions de peuvent egale-
ment être obtenues en diüérentiant immédiatement les valeurs précédentes de
En continuant de la même manière , on obtiendrait les Coefficients diliérentiels des ordres supérieurs des fonctions J' et z. . , ■
