IX. CHANGEMENT DE LA VAISIABLE INDÉPENDANTE

74. Nous avons indic^ué daqp le n° 2 la nécessité de distinguer dans cha(]ue question les variables indépendantes, c’est-à-dire dont les valeurs sont arbitraires , et les variables fonctions de cellesr-ci. Ces notions ont été reproduites dans le no 43. Les opérations analytiques qui constituent le calcul différentiel sont essentiellement fondées sur la distinction dont il s’agit , qui doit être maintenué dans toute l’étendue de ces équations , puisque les différentiations sutcessives s’opèrent toujours en regardant comme des facteurs constants les différentielles des variables indépendantes, tandis que l’on fait varier les différentielles des' .mtres variables. Ou peut toutefois, en employant certaines transformations, substituer dans le cours d’un calcul de nouvelles variables indépendantes à celles que l’on avait d’abord choisies.

Pour se former une idée juste des transformations dont il s’agit, on se représentera que la résolution d’une question aurait conduit à une équation telle que

^ K^'^dx’ dx" dx^

dans laquelle x serait regardée comme la variable indépendante, et y comme fonction de x. Cette équation établit une relation entre x , y, et les coefficients diffé-

dy d'y d'y . .

renliels , qui expriment respective-

ment les limites des rapports subsistants entre les va-

riations simultanées dex.etdes^fonctions j^, etc.

On admet maintenant que X’dqit cesser d’être prise pour

Db:::;.-.:; by Googic

variable indépendante, et que Von en prendra une autre désignée par t. Il est entendu par-là que xet jr deviendront des fonctions de t ; et néanmoins la dépendance établie primitivement entre ces deux variables x etj^ne doit pas cesser de subsister. La relation qui liera t aux variables x elj, doit être donnée, soit par une équation entre t et x , telle que o (t , x) = o, soit par une équation entre t etjy, telle que 'v {t,y) = o , soit*enfin par une équation entre les trois variables , telle que

n {t, x,jr) = o.

Cela posé , il est visible que les coefficients diflérentiels qui entrent dans réquationF=o

doivent être remplacés par d’autres coefficients différentiels de la fonction pris par rapport à t. Il s’agit d’o^ pérer ce changement en conservant la dépendance de^ à X. On y parviendra en remarquant simplement que quand x est fonction de t , et^ fonction de x, on a, d’après la règle du n“ ,

' dy dy dx . '

dt dx dt ' ■

d’où l’on tire

dx'

dî

expression qui doit être mise à la place de ^ dans l'é

quation F=0.

Cette première expression donne immédiatement celle des coefficients diffiérentiels des ordres supérieurs. Car en diiiéreatiant les deux membres de l'équation

précédente par rapport à t , et par conséquent regardant dt comme constante , il vient

ou bien

d'y dx dx' dt

dx''

dx dy

dT dF

dy <Tx 'dt dF

dx dy

IT'dF

dy dx dt dt

dx^^

\lü]

On déduira de même de cette expression , en diflférentiant par rapport à t et divisant par ,

tPy

' fdx^'d^y dx dx dy dy

\dt J dt^ ^ dt' dt dt

t dx \ * dx dy tPx W/’ / dt dt dt^

dx^

et ainsi de suite.

75. Lorsque ces valeurs auront été substituées dans l’équation F=0 , cette équation contiendra x,y, etleurs coefficients dillérentiels pris par rapport à t. Si l’on a donné une équation <t (f,x)=0 , entre r et x , on pourra remplacer, dans l’équation F=0, xefses coefficients différentiels par leurs valeurs déduites de l’équation 'X,x)=0 , conformément à ce qu’on a vu n° 72. Alors x aura disparu, et l’équation F=0 ne contiendra que dy dy d?y c- n

t,y, 27’'dF}' ^ donne une équation

4' (t,j^)=0 entre t ely, on pourra de même faire disparaîtrej^etles coefficients dillérentiels dey, en sorte que l’é-

dx <^x d^x

quation F=0 ne contiendra que t, x, , etc.

Enfin si l’on a donné une équation n {t,x,y)=Q entre les trois variables, on pourra faire disparaître à volonté X ou. y , puisque cette 'équation et ses différentielles successives prises par rapport à t ( en regardant X et y comme fonctions de t ), donneront les

dx <fx r ■ T 4x

valeurs dex, , -r --, , etc. , en lonction de y, -r-„etc. , a t a t a t at

et réaiproquement.

76. Si la relation établie entre t et les autres variables consistait dans l’équation x=t , on aurait ^ =1 , éPx d^x

=0, -J— 5=0 , etc., et les formules du n“ se réduit-

M t tt P

, , . , , dy dv dCy cty

raient , comme cela doit être, a -r” = . -r . = j •>

dx d t dx d t

d?y d?y dx^~

Si la relation dont il s’agit consistait dans l’équation . dy d'y tPy y=t , on aurait ^ =® ’ ^3 = ®

mêmes formules deviendraient ( en écrivant y au lieu def),

dx^ /dx\^’

\dy)

ffCx\‘ dx \dyj dy

dx tPX ; dy dy*

Ite/L

\dyj

dy d*y

On doit donc remplacer ^ etc. , par ces der-

nières expressions , lorsque , dans une équation entre x et J- , ayant d’abord pris x pour la variable indépendante , on veut ensuite que devienne la variable indépendante.

77. Les formules précédentes conduisent immédiatement à l’expression delà difiéreutielle des fonctions inverses ( i^oj-ez n“ 35 ). *

L’équation

dx X ’

y=lx

donne

X étant regardée comme la variable indépendante. Si l’on, veut maintenant que^ soit la variable indépendy 1

dante , on remplacera ^ par ^ , ce qui donnera

1 t dx

c’est-à-dire , en mettant pour x sa valeur en y , qui est er I ,

d.eT

L’équation

y'sssin.x

= ei

dy «

donne -r- = oos. jc , dx

X étant regardée comme la variable indépendante. Si la variable indépendante doit être y , on écrira i

"dy

= cos. X ,

cos. x'

c’est-à-dire, en mettant pour x sa valeur arc sin.^jr , rf.arc sin.^ 1

dy Vi-y

L’équation

j^=tang. X ■

Donc

1 i dx

donne — =

= cos. j: , ou

dx cos.’x’ rf.arc tang.^ 1

dx cos.’x’

78. Les mêmes considérations s’appliquent aux cas où le nombre des variables est plus considérable. Si l’on avait , par exemple , l’équation

/ dy dy ' dz dz \

dans laquelle et x désignent les deux variables indépendantes , y et Z deux fonctions de ces variables ; et qu’on voulût ensuite prendre pour variables indépendantes s et t , on remarquerait que et x devenant fonctions de 5 et r , tandis que ^ et x ne cessent point d’étre fonctions de r et x , on a

dy dy dv dy dx dy dy dv dy dx

ds dv d s dx d$ ’ dl dv dt dx dt ’

d'où l’on déduit par l’élimination

dy dx dy dx dy dv dy dv

dy dt ds ds dt dy ds dt dt ds

dv dx dv dx dv ' dx dx dv dx dv '

ds dt dt ds ds dt dt ds^.

On obtiendrait des expressions semblables pour — et

Si l’on différentie les deux expressions précédentes de

dy dy . , .

et ^ par rapport as et on aura'tpois équations

d’où l’on pourra tirer les expressions des trois coeflicients

différentiels du second ordre

d'y -dy dy

et ainsi

dx' ’ dxdv ’ d^ ’ des autres coefficients différentiels. 11 serait superflu de continuer plus loin la recherche de ces formules générales , parce qu’il convient mieux d’opérer dans les applications sur les expressions analytiques qui se présentent.

79. Le changement des variables • indépendantes a principalement lieu dans la géométrie , lorsqu’on veut passer d’un système de coordonnées à un autre. Admettons , par exemple , que dans l’équation

^ ( dy d^y \

X eijr représentent deux coordonnées Op, mp (fig. 23) comptées sur deux axes rectangulaires, et qu’on veuille remplacer x par l’angle formé par le rayon vecteur Oto avec l’axe djs x. On aura donc

tang.

Cette équation , étant différentiée plusieurs fois de suite par rapport à w , dout jr ci x sont fonctions , donnera des équations dont on tirera les valeurs de , etc. , qui devront être substituées

dans les formules du Les valeurs des coefEcients

dy dy

différentiels représentées par ces formules

étanl substituées dans l’équation F= 0 , cette équatidn dy cTy .

sera entre o:, v. t" . -r; « etc.

ata (i'jt

Si l’on veut changer entièrement le système des coordonnées , en introduisant à la place de la longueur du rayon vecteur Om , que nous désignerons par p , on poserait après l’équation précédente

, • J' = j> sin. 61,

et dilFérentiant cette équation plusieurs fois de suite par rapport à w , p étant regardée comme variable , on obtiendrait des équations dont on tirerait les valeurs- de

tfy- (ty 1 • f 1 '

-J- J -y-, > etc.j gui devraient être substituées dansi equa-

au ^ ^ ^

, , dp d" p

tion projposee , qui sera alors entre w, ^ > ^tc.

Mais dans ce dernier cas il eût été [ lus simple de poser immédiatement ,

X—p cos. U ,

y=p sin. w.

et de déduire de ces dernières équations les valeurs de

dx (Tx dta du^

V dy d^y , - , .

, etc., et ^,3-, .etc. Les valeurs étant substi-

<Z(p> au

tuées dans les formules du n° , on obtiendrait ainsi

dy ^ y dp tT p

les valeurs de -y- , -y—. , etc., en u , 0 , ^ . -j -, , etc. , qiu dx ax au O**

devraient être substituées dans l’équation proposée.

X. EXPRESSION GÉNÉRALE DU DÉVELOPPÉMENT d’uNB FONCTION SUIVANT LES PUISSANCES ENTIÈRES DE LA VARIABLE. THÉORÈME DE TAYLOR.

80. La considération des coefflcients différentiels ou des fonctions dérivées des divers ordres , donne les moyens de développer une fonction quelconque en une série infinie ordonnée par rapport aux puissances entières de la variable. Soit la fonction proposée

En revenant aux notions présentées dans l'article VI, et continuant le tableau du n" 50 , on en déduira par de simples substitutions , pour les valeurs correspondantes de X et J', 1 -:i

x+Ax x+2.ix x+IJAx

x+n.ix

L’expression dejy« est indépendante de la nature delà fonction : elle peut toujours être formée tant que cette fonction ne prend point des valeurs infinies dans l’intervalle des valeurs x et x+n^x de la variable. Ainsi nous pouvons écrire

■ "-(-0 . “'(-iX-D ,

Y —y r< =ir+Ar r.=y+'2^y+^y

Y, =y-+3 Ar+3A>+Ay

jr»=.r+« Ay+-^-2 — ^y-^ ^-3 ^y+- ■ • -+Ay .

OO bien encore

ÙJT*

Cette équation subsiste , quelle que soit la grandeur attribuée à l’intervalle constant ax, et^quel que soit le nombre n. Admettons que l’intervalle n.x ( qui sépare les valeurs de x auxquelles répondent les valeurs^ ety. de la fonction ) demeurant constant , on fasse dinriimer indéfiniment Ax , et apgmenter indéfiniment le nombre n dans la même proportion. L’équation précédente ne cessera pas de subsister , et par conséquent elle doit subsister également lorsqu’on remplacera chaque terme par la limite vers laquelle il tend lorsque :xtend à devenir' nulle. Or , il est visible que la limite commune des frac-

tions 1 — 1 — — , etc., est l’unité, et que les limites

des rapports' — , — etc., sont les coefficients dif-

dy <Py dPy

férentiels ou fonctions dérivées ^ , etc. Donc

en faisant pour abréger nt!X=h , on voit que l’équation

entraîne la suivante

dy h’ eTy A’ d'y h* d*y

dx 2 da* 2.3 dad 2.3.4 rfx*

que l’on écrit souvent d’après Lagrange /(x-i-A)=/’^x)+A/'(x)-J-^/'"(x)4-^^"(x)-J^^/'v(jr)+eu;. en employant pour les' coefficients différentiels ou fonc-

lions dérivées la notation proposée par ce grand géomètre. Cette expression remarquable, appelée théorème ou Jbrmule de Taylor, du nom dé sou auteur, doit être regardée comme l’élément principal du calcul difl’érentiel et de ses applications.

81. L’expression précédente est souvent présentée sous une autre forme. En faisant x=0 , et désignant par

Y . > ~r—> etc. , les valeurs particulières et con-

dx (U‘ du.-^ ^

, , . dy (T y d^y

stantes que prennent alors les fonctions

etc., il viendra

ou en mettant x au lieu de h ,

dx 2 dx' 2.3 dx^ 2.3.4 dx

Cette dernière formule a été donnée par Stirling; mais elle est plu^ connue sous le nom de série de Maclaurin, à qui on l’a généralement attribuée. Quand on emploie la notation de Lagrange , on écrit

f[.x)^j\d)-\‘xf' (o}+ (o)+ ^ (o)+ f" {o)+ etc.

Cette formule et celle du n° 8o servent à développer une fonction suivant les puissances entières de la variable x: ou h. En général , la série se prolonge è l’infini. Les fonctions algébriques entières

composées , de termes de la forme ax "' , m étant un i.o si" ' '

nombre entier positif, produisent seules des suites finies , les coefficients différentiels de ox" , d’un ordre supérieur à m, étant nuis comme on l’a remarqué n" 56. Il est d’ailleurs évident que si les développements de f{;a\-h) et de f{x) ne renferment qu’un nombre limité de termes , ils se réduisent alors à des polynômes entiers. Si, par exemple, les dérivées y’"‘*''(0) , , etc,,

sont toutes nulles , il reste simplement

en sorte que f{x) est, dans cette hypothèse, une fonction algébrique entière du degré n.