L’équation

/(X) =/(0)4-^/'(0)-Hetc. •

est bien facile à établir par la méthode des coefficients indéterminés , lorsque l’on sait a priori que la fonction f{x) est développable en une série de la forme A4“Ba;-|- Cx’4-Djî’+€tc. Posons en effet

(1) y(x)=A-fBx+Cx’-J-Dx3-t-

Pour déterminer les constantes inconnues A,B,C,D

on prendra les dérivées successives de l’équation (1), ce qui donnera

f (x)=B+2Cx-l-3Dx*-i-

y;'(x)=2C+2.3Dx+

et en faisant ensuite x=0 , on aura

A=/(0), B=/'(0), C=*^,etc., d’où résulte l’équation (1) qu’il fallait démontrer.

On arrivera de la même manière à la série de Taylor , en posant > '

et en difïérentîant plusieurs fois de suite par rapport à h , ce qui donne