C+2.3DA

Faisons jc4-/i=u , d’où /(x+A) =/(u) = par le principe des fonctions de fonctions , il vient

on trouve semblablement , '

dh' ^

et ainsi de suite , de sorte que , pour A=0 , les dérivées successives

df(x-¥h) e P/jx+h) " * dh dh’

sont respectivement égales à

f'ix), /"W.etc.

En posant donc A=0 dans les équations (2), (3), (A)

on obtiendra

A=/(x), B=/' (i) ,.C =-Lp, etc. C. Q. F. D.

On remarquera en passant que les deux dérivées ^ ■*

df{x+h)

ont pour expression commune /'(«), et sont par suite

égales entre elles ; et qu’il

en est de même des dérivées

des ordres supérieurs

dx' ’

dh' ''

tFf[x+h)

dod '

dh' ’

83. Rien ne limitant dans la formule du no 81 la valeur de a: , ni la valeur de h dans la formule du p° 80 , la fonction J* se trouve exprimée dans toute son étendue, ce qui est très-remarquable , au moyen de la valeur de cette /onction et des valeurs de la série infinie de ses coefficients différentiels qui répondent à une seule valeur de X. Ainsi donner les valeurs de la fonction et des coefficients différentiels pour une seule valeur de la variable , équivaut en général à donner la fonction ellemême. Mais il importe d’observer que chacune de ces séries ne peut être égale à la fonction correspondante f{x) ou J\x+h) , qu’autant qu’elle est convergente, c’est-à-dire, qu’autant que les valeurs obtenues, en prenant un nombre de termes de plus en plus grand , s’appro<;[ient de plus en plus d’mtfe certaine limite; ou, ce . qui est la même chose, qu’autant que l’on peut assigner deux limites aussi resserrées qu’on le veut , entre lesquelles la valeur obtenue se trouvera toujours comprise,

quelque grantl que soit le'nombre des termes que l’on ajoute. D.ins quelques cas , la couTergence d’une série est manifeste ; par exemple , lorsque les termes diminuent progressivement à partir du premier , et sont alternativement p«sitifs et négatifs , les résultats donnent évidemment des nombres qui diffèrent de moins en moins , et convergent verS un nombre intermédiaire. Lorsque les termes sont de même signe , la série est convergente si tons sont moindres que les termes correspondants d’une progression géométrique dont la raison est plus petite que l’unité. Au contraire elle est divergente , si tous les termes sont plus grands que ceux d’une progression géométrique dont la raison est l’unité , ou plus grande que l’unité. En général , un examen spécial est nécessaire pour s’assurer si une série est ou non convergente. -

84. Il est très-important, soit pour l’application de la série de Taylor au calcul numérique des valeurs des fonctions , soit en général toutes les fois que l’on se borne à considérer un nombre déterminé de termes de cette série ( comme on le fait dans les applications du calcul différentiel à la géométrie , à la mécanique et à la théorie du mouvement de la chaleur ) , de pouvoir apprécier l’erreur que l’on commet , ou du moins de pouvoir assigner deux limites entre lesquelles cette erreur soit comprise.

On parvient, au naoyen d’une remarque tÿès-simpje , à déterminer les limites dont il s’agit. Soit une fonction quelconque J'(h) dont la valeur soit nulle quand la variable h=0 : on peut afBrmer que si depuis h=0

jusqu’à le coefficient différentiel ■ * est con-

df{h)

stamment positif ou constamment négatif, et ne devient pas infini , la valeur de f[h') sera positive ou négative , c’est-à-dire du même signe que le coefficient différentiel.

Eu effet , tant que est positif et fini , la fonction

croit positivement, et lorsqu’il est négatif et fini, cette même fonction croît négativement. Mais cette proposition ne subsisterait plus dans les cas où le coefficient différentiel , ou la fonction même , auraient des valeurs infinies dans l’intervalle de 0 à A.

Cela posé , supposons que l’on veuille développer la fonctiopy( ar+/j ) suivant les puissances de A ^ et que l’on ne prenne d’abord que le premier terme f^x) du développement. IVous écrirons donc

/(a>fA)=:/fx)+A.n , ^

n étant une quantité inconnue , qui , lorsque h tend à devenir nulle , tend à devenir égale à • La question consiste à déterminer deux limites P, Q entre lesquelles la quantité n se trouve comprise , et qui soient telles que l’on ait , quelle que soit h ,

/(•r+A)</*(x,'+AQ i

ou bien

/(j>fA)— /(x)-AP>0 f{x^h)—f (j:)— A(Q<0 ;

mais d’après le n» précéden,f , la première de ces fonctions ( dont la valeur est nulle lorsque A=0 ) sera posi- ,

tive , et la seconde çera négative , si leurs coefficients différentiels pris par rapport à h sont eux-mêmes positifs ou négatifs , et ne deviennent point infinis , depuis A=0 jusqu’à A=A; c’est-à-dire si l’on a

d.Ax+h)

depuis A=0 jusqu’à h=h. Or il est clair -que l’on satisfera à cette condition , 1° en prenant pour P la plus

petite de toutes les valeurs que prend la fonction

depuis A=0 jusqu’à k=h -, 2° en prenant pour Q la plus grande des valeurs que prend la même fonction dans le même intervalle.

Admettons maintenant 4jue l’on prenne les deux preî(^pr 8 termeayi[a;) 4 A ■ du développement. On déterminera les Bmites du reste de la série en assignant les valeurs de P et Q , de m^ère que l’on ait , quelle que soit h.

ou bien

* dx

■dx

D’après le n® précédent , ces dernières conditions seront satisfaites si le coefficient difiérentiel de la première fonction est positif dans l’intervalle de 0 à A , et si le coefficient dilTérentiel de la seconde est négatif dans ce même intervalle , c’est-à-dire si l’on a

d.f[x>\^) d.f{x) dh dx

d,f[x^) df[x) dh dx