AQ

' Mais ces conditions seront elles-mêmes satisfaites si , difiérentiant de nouveau par rapport à A , on pose

(Tflx-^)

dh‘

Donc on doit prendre ici respectivement pour P et Q

là plus petite et la plus grande des valeurs qui peuvent

appartenir au coefficient difiérentiel du second ordre

dyix+h) , 11 I , ,

' — , dans 1 intervalle de 0 an.

Supposons encore que prenant les trois premiers A' (T.flx) 1,^1

termes j{x)+n — h — du développement , on

veuille assigner les limites du reste. Il s’agira donc de déterminer P et Q de manière que l’on ait

fi^x+h)-f{x)-~hi^-

/(jr+A)-/(a;)A^^-

h' æ.fjx) 2 dx' h' æ.fjx) 2 dx'

Or ces conditions seront satisfaites si l’on a

df{x+h) df[x) ^ K

dh d.f[xJrli)

dx d.J\x)

da?

d'.fix)

dh dx ” dx' 2

,Ces dernières lèveront elles-mêmes si l’on a d'fix+h) d'f(x)

dh'

Enfin celles-ci le seront si l’on a </’./(jr+A)

dtd’

dh^

cest-à-dire si Ion prend pour P la plus petite, et pour

Q la plus grande des valeurs qu’affectera la fonction d}.f[xJ^)

dh'

dans l’intervalle de 0 à A.

En continuant de la même manière , on voit que tant que les coefficients différentiels ne deviennent point infinis,; on peut développer une fonction parla série de Taylor, et s’arrêter à un terme quelconque, en fixant les limites de la valeur de la partie de la série que l’on néglige. Nous remarquerons d’ailleurs que les coefficients

différentiels , etc., ne diffèrent point

J d.f{x+h) fT/fx+A) dx * dx' '

etc., ou

dx dx' ’

etc.

On est donc assuré que la râleur de la série est toujours comprise entre celle des deux expressions suivantes ,

h' d'.f{x) A3 d\f[x) 2 dx' 2.3 dx^

dx 2 da^

P et Q désignant respectivement la plus petite et la plus grande valeur que puisse prendre le coefficient dillé-

rentiel pour toutes les valeurs de la variable com-

dxf'

prises entre x et x+A.

85. Il est visible , d’après ce qui précède, que l’on aura toujours la valeur exacte de la série en prenant

pour dernier terme — ^ ^ multiplié par un certain

facteur compris entre P et Q ; c’est-à-dire , par une des d^ .f{x)

valeurs de la fonction — — qui ont lieu dans l’intervalle de X à x-\-h. C’est ce qu’on exprime en écrivant

f\x+h)=J[xyt-h

df[x)

h' æfjx)

2 rfx* '

T5 "dx^ 2.3.4..ït d^

S est ici un nombre inconnu compris entre 0 et l’unité.

Quelques géomètres écrivent encore le dernier terme de cette manière , <

hf^ d^.f[x x+A)