f* dxi

afin d’indiquer que l’on doit mettre pour x dans ce terme, sous le signe de la fonction, une des valeurs de la

variable comprises entre x et x-\~h. Cette valeur est inconnue ; mais on sait que l’on a une limite supérieure

des valeurs dey’(o:+A) en mettant celle qui rend — '■

dx^

le plus grand possible, et une limite inférieure de f{x+h)

en mettant celle qui rend — ^ le moindre possible. Il

dx^

est évident d’ailleurs que si la fonction — est con-

djd'

stamment croissante ou constamment décroissante depuis x=x jusqu’à x=x + h , les limites dont il s’agit

seront données par les valeurs — ^ — qui répondent à

x=x et à x=x-\-h.

dx^

86. On peut , comme dans le Uo 81 , faire x=0 dans la formule précédente , puis écrire x au lieu de A , ce qui donnera

Tj^)=/(0)+^/'(0)+ |/"(0)+ ^/"'(0)+ + — ,

6 désignant toujours un nombre dont la valeur n’est pas déterminée, mais se trouve comprise entre 0 et l’unité.

On obtiendra deux limites entre lesquelles la valeur de y{x) sera nécessairement comprise , en mettant dans le dernier terme, pour J^(9x), la plus petite et la plus grande valeur que prenne ce coefficient dillérentiel dans l’intervalle de 0 à x.

87. Au moyen de l’expression du reste de la série de Taylor, qui a été donnée par Lagrange , toute incer-

gi —

titude relative à la convergence de cette série disparaît entièrement. En effet , la série est nécessairement convergente , et a pour somme f (JC+A) , si la valeur du

,, A'' d>^.f[x + fih) .

terme complementaire — ■aevient