X dx

plus petite que toute grandeur donnée lorsque le nombre (* augmente indéfiniment. On peut remarquer d’ailleurs que cette circonstance aura lieu toutes les fois que l’on pourra assigner un nombre déterminé N au-des-

sous duquel la valeur absolue du facteur

dxf^

reste constamment ^elque grand que soit ft, car le

facteur tend nécessairement à devenir nul

lorsque (x augmente de plus en plus.

Des cas où , pour certaines valeurs particulières de la variable , la série de Taylor ne donne point le développement de la fonction.

88 . L’existence de la sériede Taylorsuppose que la fonction j=y(x), et ses coefficients différentiels y^(x),y''(x), etc. ne deviennent pas infinis pour la valeur de x à partir de laquelle l’accroissement désigné par A est compté. Si le contraire a lieu , la série sera en défaut. Soit par exemple

la fonctionyt'») de la forme ^ , m désignant un nom-

bre positif, et F(x) une fonction de x qui ne devient pas nulle ni infinie lorsque x=a . Si , conformément aux règles

précédentes , on développe | série or-

donnée suivant les puissances entières de h , tous les termes deviendront in6nis lorsqu’on y fera x=a. Cependant la fonction a alors une valeur déterminée qui

est Mais comme le développement de cette va-

leur suivant les puissances de h doit nécessairement présenter des puissances négatives de cette quantité , il ne peut plus être donné par la série de Taylor.

89. Soit encore la fonction log. x. Tous les termes du développement de log. (x+A) deviennent inBnis lorsqu’on y fait x= 0. Cependant la fonction présente alors une valeur déterminée , qui est log. h ; mais cette valeur ne peut être représentée par une série ordonnée suivant

les puissances entières de A , puisque log. A = — — lors-

que A = 0.

90. La série de Taylor donne naturellement des résultats indéterminés , lorsque la fonction proposée /'(x) contenant des radicaux , la valeur particulière attribuée à X fait disparaître ces radicaux dans la fonction et dans ses coefficients différentiels. Pour en concevoir la raison, il faut remarquer qu’un radical de la forme de ^ (x — a)p , P et q désignant des nombres entiers , qui fait partie de la fonction f{^), donne à cette fonction autaut de valeurs différentes réelles ou imaginaires qu’il se trouve d’unités dans le nombre q. Comme ce même radical se reproduit dans les coefficients différentiels de la fonction, ces coefficients présentent eux-mêmes, comme cela doit être, un nombre de q de valeurs. Ainsi il y a, à proprement parler, autant de développements particuliers et différents les uns des autres que le radical dont il s’agit

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présente de valeurs. Mais si l’on donne à x la valeur particulière a , le radical disparait de tous les termes de la série , tandis qu’il subsiste toujours dans la fonction , où il est devenu Donc la série ne peut plus alors représenter la fonction, puisque celle-ci a plusieurs valeurs tandis que la série n’en aurait qu’une L’analyse résout cette contradiction en donnant des valeurs infinies aux termes de la série, qui ne présente plus alors ' de résultat déterminé.

Le développement de f{x) doit, dans le cas dont nous

nous occupons , contenir des termes affectés de On connaîtra ce développement en faisant dans la fonction proposée x = a + h, et déVéloppant y(a+A). Les puissances fractionnaires de h paraîtront dans ce dernier développement.