Soit, par exemple
J‘{x) = 2ax — x'+a a’,
qui donne
d.f(x) , ax
dx
iP.fix)
da?
Vx'—a' d ax'
En faisant x=a , on a f[x) = a, et les coelHcients différentiels de tous les ordres sont infinis. Cette circonstance indique que le développement de f{x+h) doit ici contenir des puissances fractionnaires de h lorsque x = a. La fonction' devient alors en effet
/(a+A) ^a'—h'+a Vh |/2a+A,
Digilized by Googl(
dont le développement suivant les puissances de h contiendra les termes h\ h', h’, etc.
92. On doit remarquer d’aille*urs qu’un radical contenu dans la fonction peut disparaître de deux manières différentes lorsqu’on attribue une valeur particulière à la variable x, savoir : 1“ parce que la quantité contenue sous le radical deviendrait nulle; 2° parce qu’un facteur dont ce radical serait affecté deviendrait nul. Dans le premier cas le développement déduit de la série de Taylor ne peut jamais convenir à la fonction /■(x+A) pour la valeur particulière de x dont il s’agit , par la raison indiquée n° 90. Mais il n’en est pas de même dans le second cas , parce que le facteur dont le radical est affecté , et qui devient nul dans la fonction , peut cesser d’allecter ce radical dans les coefficients différentiels des ordres supérieurs , en sorte qu’il n’y disparaîtrait pas , et que la série présenterait en êonséquence le nombre de valeurs nécessaire. Cette série convient donc aux cas dont il s’agit , et donne une valeur déterminée. - • -
93. Si par exemple la fonction proposée était f{x) = (x— a)" y x—b\
m étant un nombre entier positif, on trouverait d.f(x) , , [x — fl)”*
— 4 =^m{x — fl)"*—' y X — 6+ — .
\ ,.^yx—b
, I y " ~ V m{x—a)rf’''
' (jr— «)"
dx’
etc.
Chaque différentiation fait disparaître dans le premier terme un des facteurs de (x — a)" . Après un nombre m de différentiations ces facteurs auront entièrement disparu, et par conséquent la supposition x=a, en rendant nuis tous les coefficients différentiels des m premiers ordres , laissera subsister le radical x — b dans
tous les autres.
Valeurs des quantités qui se présentent sous la forme indé-
terminée
9&.. Les notions précédentes s’appliquent directement à la recherche de la valeur des fractions, telles que
Ax)
qui , pour une certaine valeur x = a de la variable , se réduisent à l’expression indéterminée g-
La valeur x=a étant supposée réduire à zéro les deux termes y(x) et F(x) , demander la valeur de la fraction dans ce cas , c’est évidemment demander la limite dont
s’approche indéfiniment le rapport lorsque x tend
à devenir égale à a. Or, tant que la variable x demeure indéterminée, on peut toujours, en développant les deux fonctions par le théorème de Taylor, poser l’équation
yi:x)+ft/'(x)+|/"(x)+^/'"(x)+etc.
F(x;+AF'(x)+^F"(x)+^ F"(xH-etc.
Supposons d’abord que les deux développements ne tombent point, lorsqu’on donne à la valeur particulière a, dans les cas d’exception considérés dans les n°* 88 et suivants. On aura évidemment la valeur dem<mdée eu faisant d’abord a; = a , puis en examinant vers quelle limite tend le second membre lorsque h tend à devenir égale à zéro. Or, puisque f{a) et F(a) sont nulles par hypothèse , cette limite est évidemment
c’est-à-dire le quotient des coelBcients différentiels ou des fonctions dérivées du premier ordre des fonctions /{x) et F(jc) , dans lesquelles on a fait x=a.
Si la valeur x—a faisait aussi évanouir ces deux coefficients différentiels du premier ordre , on trouverait alors de la même manière
pour la valeur demandée. Et ainsi de suite en prenant toujours pour La valeur de la fraction proposée le quotient des deux premiers coefficients différentiels que la valeur a: = a ne rend pas nuis en même temps.
Mais si le premier coefficient différentiel, qui ne s’évanouit pas au numérateur, n'était pas du même ordre que le premier coefficient différentiel qui ne s’évanouit pas au dénominateur, il est visible que la valeur demandée serait 0 ou ^ , c’est-à-dire nulle ou infiniment grande , suivant que le nombre des termes qui dispa-
raissent au numérateur est plus grand ou moindre que le nombre des termes qui disparaissent au dénominateur.
95. Si l’on admet maintenant que les deux fonctions /\x) et F(o:), ou seulement l’une d’entre elles, ne puissent pas se développer suivant les puissances entières de h lorsqu’on donne à a: la valeur particulière a , conformément à ce qu’on a vu dans les no» 88 et suivants , la règle précédente ne pourra plus s’appliquer. Il faudra
alors, pour connaître la valeur de la fraction déve-
lopper les deux termes de la fraction en deux
séries qui contiendront des puissances négatives ou fractionnaires de A, puis faire A = 0, après avoir supprimé le facteur commun au numérateur et au dénominateur.
