Soit par exemple la fraction

dont on demande la valeur lorsque x=l. Le rapport des coefficients différentiels du premier ordre des deux termes est *

i — (ft+l)ar"

et en faisant x = l., on trouve n. En ellet la fonction proposée représente la somme des termes de la progression géométrique x+x’+x^+-....+x'.

Soit encore la fraction

1 — (/i+l)x*+nx"+ '

qui est le coefficient dillérenliel ilu premier ordre de l.t précédente , et qui représente par conséquent la somme

des termes de la série l+2a^+3x’^ +7ja:"~'. Le rapport

des coefficients différentiels des deux termes est

et comme il devient - quand on fait x= 1 , on prendra

le rapport des coefficients dillérentiels du second ordre, qui est ’

■ — (n — 1) «(re + l)a::"-*+«’(n+i) a:"“'

et en faisant a: =1 on trouve — - — pour la valeur demandée.

' Si la fonction proposée est

n désignant un nombre positif, on a pour le rapport des coefficients dillérentiels des deux termes

na:'—' '

Ainsi la valeur de cette fonction correspondante à x = O est 1 ou 0 suivant que l’exposant « est ou <1.

j sin« iu

Il en est de même à l’éprard des fractions et —

n désignant toujours un nombre positif. Quant à la

l^~COS. JT

fraction — — — i il faut passer aux coefficients dilléren-

ticlsdu second ordre, ce qui donne ^ — . Ainsi la

Videur de cette dernière fraction correspondante à x = 0 est -, - ou 0 suivant que l’exposant n est > 2, = 2 , ou

< 2. On voit par-là que x étant plus petite que toute grandeur donnée, ou infiniment petite, 1 — cos. x est infiniment petit par rapport à x ou à sin. x.