On se rend compte facilement de ces résultats par

la géométrie. La fraction proposée étant*^:^, soient Mn

et MN (Jîg. 2h) les courbes dont les coordonnées sont respectivement représentées par y(a:)eLF(x). Cette fraction

exprime la valeur du rapport ^ des ordonnées des deux

courbes qui correspondent à une même valeur OP de l’abscisse X; et puisque les fonclions/tr) et deviennent nullcs lorsque a: = a , il s’ensuit nécessairement que les deux courbes se rencontient en un même point de l’axe desx situé à la distance OM=nderorig;ine. Demander la

xaleur de la fraction* 7 ^ 7 -- lorsque x=za, c’est donc de-

mander la limite vers laquelle tend le rapport des deux

ordonnées P«, PN lorsque la distance MP tend à devenir

nulle. Or, cette limite est évidemment le rapport des

deux tangentes trigonométriques des angles formés avec

l’axe des a: par les tangentes menées aux deux courbes

au point M, cest-a-dire v;rr-r.

Si les deux coefficients dilléientielsy’'(x) etF'(x) étaient unis pour la valeur x — a, les deux courbes auraient alors au point M l’axe des x poui’ tangente commune. La limite du rapport des ordonnées serait donnée par la

valeur

, car le coefficient diHérenticl du second ordre

est alors proportionnel , ainsi qu’on le verra dans la suite , à l’intervalle dont la courbe s’éloigne de l’axe des X , lorsqu’on s’avance .sur cet axe à une distance infiniment petite du point de contact.