XI. DÉVELaPPEMENT DES FONCTIONS SIMPLES d’üNE Variable
»“ Fpnction je*.
99. L expression des coefficients des divers ordres de la fonction x a étç donnée n“ 54. On a généralement dH-x''
Il en résulte que l’expression de (a:+A)“. en tenantcompte du reste de la série conformément à ce qu’on a vu n 84 , est
(jt+A)"= x’^h'’+
. TO(m— !)(/»— 2)
f. ^(or+5A)—
6 désignant toujours un nombre compris entre zéro et l’unité. Nous admettrons dans ce qui va suivre que la valeur de X surpasse celle de h, et que xelk sont positives, ou plutôt sont de même signe t si ces deux quantités étaient de signes opposes ou étaient imaginaires , et si en même temps le module de h était plus petit que celui de a:, le théorème auquel nous arriverons subsisterait encore, mais il exigerait une démonstration particulière. Les deux limites de la valeur du facteur {x+ih)”'~/* sont évidemment x^/* et (x+A)"--“, en sorte que la valeur | du développement est comprise entre les valeurs qui correspondent à ces deux limites ; et on peut prouver que le reste de la série se réduit à zéro pour /iî=oo. Car, en prenant un terme de plus , les deux limites du terme qui représente ce reste seront égales aux limites pré-
dont la valeur sera toujours plus petite que runité , . . ■
pour des valeurs de f* très-grandes , si — est lui-même
plus petit que l’unité. Ces deux limites diminuent ainsi
indéfiniment lorsque f* augmente , et il est aisé de voir ’ ' '
qu’elles se réduisent h zéro , ainsi que le reste de la série ,
lorsque jt= co. La série infinie etc., est donc
convergente et égale à Mais elle finirait par .
être divergente, quoiqu’elle pût être convergente dans
les premiers termes, si — était >1.
100. Ein divisant les deux membres par je", puis écrivant x à la place de— , on a
(I4êx)"— /'xï“.
La série infinie qu’on obtiendra en faisant = œ sera nécessairement convergente lorsque x sera •< 1 .
D’après cequi précède, la formuledu binôme de Newton, qui est donnée dans les éléments pour le seul cas- ^ de l’exposant m entier et positif, se trouve démontrée , T quel que soit cet ex posant. '■* ~
1* Fonction logarUhmiq\ie log. f.
. 101. On a , conformémenlaux n“* 19 et 57 , dh.\o^.x 1)
dx!^ ® xt* •
les signes supérieur et inférieur ayant lieu respéclivcment lorsque (x est impair ou pair. Par conséquent , d'après le n“ 85 , la valeur de log. (jr+A) est exprimée par
lo8.(x«)=l,g.x+log..(^j-^+5P.....±-j-^
Le reste delà série se réduira à 0 pour (x:^ « , pourvu que le rapport * ne surpasse pas l’unité. On s’en convaincra en observant que les limites de ce reste sont -, ht^ ht*
égales aux facteurs et multipliés par ±loe,e:
” uxt* i4x+h)/* r r O
toutefois cela suppose que le rapport “ ®st positif:
s’il était nég.itif , il faudrait une autre démonstration que nous ne donnerons pas ici. Nous supposons le logarithme pris dans un système quelconque. S’il est pris dans le système dont la base est e ^ on fera ’log. e = l.
^"■102. Si l’on fai|t â: = 1 , et si l’on écrit ensuite a: à la place de A , les formules précédentes, donnent
. / x' jT-î X/* \
loj.(l+x)=l..g..(x--+ -f-
et si le logarithme est népérien y^on. a simplement
— io4 —
x' X^ X* XM •
Les séries sont convergentes lorsque x est compris entre + let — 1.
En faisant x= 1 la dernière équation donne fâ=t--+5-j+-.o, et en faisant a; = — 1,
Ainsi la suite 1+^-hr + ? +€tc., n’est pas convergente. 2 3 4
Si l'on ajoute entre elles les deux équations suivantes
/ ' 'JC’ X^ X* '\
log.(H-Jc) =log.e\^x— ^ +— — + etc. j
— Iog.(l— x}=log.e ( j:+ — + — + etc. j,
il viendra
log. = 2 log.c - + - + y + etc. ) .
103. Nous indiquerons succinctement la manière dont on a effectué le calcul des logarithmes. La série qui donne log. (1+x), lorsqu’on y fait x=jr — 1, devient
iog^r=log.cjV— t— 1)’+5 1)’— I (r— i)^+etc. j;
et si le logarithme était népérien , cas dans lequel nous le désignons simplement par la lettre l, on aurait
1— |cy— l)*+ctc.
' — io5 —
Ces formules ne pourraient être employées qu’autant que le nombre^ différerait très-peu de l’unité. Mais si l’on fait y = l/'z, r désignant un nombre quelconque, la première donnera
log.z =rlog.e‘ Z— 1— î ((^ z— 1)’+ z— 1 ) > — etc. j j
et si le nombre r est pris négativement ,
log.z=Hog.e|^l
Ces deux' séries , dans lesquelles on peut donner à r telle valeur que l’on veut , seront convergentes , la première
lorsque le nohdire r sera tel que l’on ait J/z<C2 , et la
seconde lorsque l’on aura On voit d’ailleurs
que la première série ayant des termes alternativement positifs et négatifs , taudis que tous ceux de la seconde sont positifs , on a
log.z<;rlog.c(l/^l) et log.>Hlog.c
Ce qui donne deux limites que l’on peut resserrer à volonté en augmentant l’exposant r du radical.
^ 104. Il çst; nécessaire d’ailleurs de connaître log. c. On y parvient en remarquant que a désignant la base du système auquel appartient log. z, on a c = ; et en
prenant de part et d’autre lès logarithmes népériens
1 =log.e.fa; d’où log.e=~. L’expression de ly
du n® précédent ijonne ensuite , en faisant y = a ,
laz=i\ =a — 1 — -(a — 1)’+ ~{<t — -1)^ — j (a— l)*+etc
log.e
et par conséquent
log.e 1
— =rf
■i__L+îi
log.e l
Le nombre la , c’est-à-dire le logarithme népérien de la base du système, est nommé par les géomètres le module. Dans le système des logarithmes népériens le module est égal à l’unité. Les logarithmes pris dîms le système dont la base est a étant multipliés par /a ou le module, deviendront des logarithmes népériens.
105. Dans le système des logarithmes ordinaires la base a = 10. En prenant r = 2“ on trouve, en extrayant 60 fois la racine carrée du nombre 10,
^=1,00000 00000 00000 00086.73617 37988 *035*. Donc
Jii2«lIiï??ii22y=0,«S*S9 4*8.9,
la ® 199 71772 08125 50527
et
la= T-— = 2,30258 50930.
log.e
On doit multipber par ce dernier nombre les logarithmes ordinaires pour les changer en logarithmes népériens. D’après cela le logarithme quelconque, de 3 par exera-
pie , s’obtiendra en extrayant soixante fois sa racinecarrée , ce qui donne
y/ 3 ^ 1 , 00000 00000 OOOOÔ 00095 28942 64074 58932,
d’où
On peut remarquer que , d’après la formule dun® 94 , ona , en négligeant le c.'irréet les puissances supérieures
de X , \/l+x=l+ — ; d’où l’on conclut facilement que
lorsqu’on extrait la racine carrée d’un nombre qui n’a que l’unité avant la virgule , et qu’on s’arrête à deux fois autant de décimales qu’il y a de zéros après la virgule, la partie décimale de la racine est exactement la moitié de la partie décimale du nombre. Comme la formule dun” 102 donne d’ailleurs log. {H-x)=x log. c, on reconnaît de plus que les parties décimales dont il s’agit sont proportioimelles aux logarithmes et les donnent immédiatement.
( Voyez sur ce sujet le Vrèçis qui est devant des Tables ' ; de logarithmes àeCviWet.)
3° Fonction exceptionnelle .
