X 2.3.4.. ..IX

Les séries sont toujours convergentes, quelles que soient helx, puisqu’on prenant un terme de plus les limites des restes sont égales aux précédentes miü-

tipliées par le rapport-^, rapport qui diminue indé-

tinimcnt lorsque u augmente de plus en plus.

109. On peut iaire a:=0 , puis écrire x à la place de h , ce qui donnera

sin .x=T — +

4* etc.

cos.x X ^ ^ g ^ a.3.4.5.6

+ etc.

On a deux limites de chacune de ces séries , qui sont toujours convergentes , en s’arrêtant alternativement à un terme positif ou à un terme négatif. Ces expressions ont été données par Newton.

On ne doit point perdre de vue d’ailleurs , soit en faisant usage de ces formules , soit dans toute autre occasion , que la lettre x désignant un arc est toujours le nombre abstrait qui exprime la longueur de cet arc dans la circonférence dont le rayon est l’unité. Tant que la quantité x est sous les signes sin. , cos. , tang. , etc. , on peut concevoir cette quantité exprimée en degrés du quart de cercle ; mais on doit, quand elle est hors de ces signes , lui donner sa véritable expression. Si on continue à l’exprimer en degrés, dont 90 forment le quart de cercle , il faut alors multiplier le nombre de degrés par

le rapport

110. Nous prendrons encore pour exemple la fonction y=arc. tang. x. On a , d’après le n“ 33 ,

(ix

= — =.cos.y.

Donc, en dilTérentiant , et considérant que dans second membre y est fonction de x ,

y dy

-r- = — 2cos. r. sin. r. — = — 2cos. v. sin. r. cos.’r </x’ ax

= — sin. cos. y.

En continuant à difïérentier , on trouve

- -, = — 2 (cos. 2y. cos.y — sin.2^. cos.^. siti.j^) ^

= — 2 cos. 3^. cos.’j^,

- -- = 2.3(sin.3r. cos. cos. 3r. cos. siii. v) -j- •

dx dx

= 2.3sin.4j'. cos.*^,

-^=2.3.4 ( cos. 4j*. cos — sin. ij'.cos.’j'. sin.^) —

Q f*K dJC

= 2.3.4 cos. hy. cos.®^, et ainsi de suite. Ainsi l’on a

arc. tang. (x+A) =y+cos.j^. cos.^. A — sin.2^. cos.’^. —

— cos.Sj'.cos.^j^.— +sin.4^.cos.'^. — +cos.5j'.cos.(y. etc.,

formule qui donne l’expression de l’arc , dont la tangente est x+A , en fonction de l’arc dont la tangente est X.

Si l’on suppose x=0, il vient

arc. tang. A = A —H }-etc.

Celte dernière formule a été donnée par Leibnitz. On en déduit en faisant A=1

expression remarquable du rapport de la circonférence au diamètre.

lia —

XII. RELATIONS QUI EXISTENT ENTRE LES FONCTIONS EX- PONENTIELLES ET LES FONCTIONS TRICONOMÉTRlQtlES.

111. On sait que, conformément aux notations adoptées dans l’analyse , on exprime par le signe — 1 la quantité qui , étant multipliée par elle-même , donnerait — 1. Quoique cette quantité , à proprement parler,

n’existe pas , et que l’expression et toutes les

fonctions qui en dépendent soient par cette raison appelées imaginaires , on peut néanmoins les soumettre à

toutes les opérations analytiques , en considérant \/ — 1 comme une constante. INous remarquerons que l’on a

pour l’expression des puissances de \/ — 1

etc.

Nous rappellerons aussi que si l’on a une équation telle que

A+BI/^=P+QK— 1,

A , B , P, Q étant des quantités réelles , on en conclut nécessairement

A=P et P = Q; j)ar conséquent si l’on a

A+B|/=^=P, ou A-1-B1/^=:QP^, on en conclut de la même manière

A = P et B = 0, ou A=0 et B = Q.