La quantité imaginaire
peut toujours se mettre sous la forme p(cos.?+ V—i sin.^),
P et (p désignant deux quantités réelles , dont les valeurs sont déterminées en posant
pcos.(p = a, d’où p'=+ya’+b‘, cos. f=-
psin.ç = ô ■ sin.ç=— .
La quantité p, qui est toujours un nombre positif, est appelée le module de l’expression imaginaire a+i \/ — 1 ; <f représente l’un quelconque des angles, dont le cosinus et le sinus sont donnés par ces expressions. ^
113. Cela posé , reprenons le développement de la fonction e* donné n° 107, qui est
X X’ X' X X af
+ etc.
En substitucuit dans cette équation x — 1 à la place
de X , elle deviendra
: etc.
Or, en comparant cette série aux développements de cos. X et sin. x donnés n° 10!) , on voit qu’elle revient à cos. x+f /^ — 1 sin. X. Donc
e*^— ' =cos.j:4' V — 1 sin. x,
et en changeant le signe de x ,
g—at/—i— cos, JT — \/ — 1 sia. X ;
équations qui ont été données par Euler , et qui sont d’une grande importance dans l’analyse.
On en déduit immédiatement
cos.a:=
sin. x= .
llfi. Les formules précédentes peuvent être regardées comme renfermant tous les résultats que l’on peut tirer de la considération des angles. En effet , si l’on multiplie l’une par l’autre les équations
• = cos. — Isin.o:
y ~' = coi,. y + V — 1 sin.^
on trouvera
= cos.x cos.y' — sin. jr sin.y^+ V — 1 (cos.a: sin -f- sin. jr cos.^). Mais d’un autre côté
e{^)y-'—cos.{x+y) + V—i sin.(jr+y') :
donc , d’après ce qui a été dit n° 111,
cos.(x+y') = cos. a: cos. — sin. x sin. y' sin.(x+y^) =cos.xsin. y + sin. x cos. y'
formules dont 09 déduit toute la trigonométrie.
115 . On peut former, au meyen des expressions de cos. X et sin. x en exponentielles imaginaires , celles
de toutes les autres lignes trigonométriques. On a , par exemple ,
sin.j: 1 ‘ —
tang. X =
ou
tang. a; :
On tire de cette équation
1 — \/ — 1 tang. X
et par conséquent
1 ^ 1 + 1/ — 1 tang. X
2|/ — 1 1 — V' — Itaiig.x
Donc , en développant le logarithme par la formule qui est à la lin du n“ 102 , on a
X = tang. X — - tang.^j:+ - tang. x — - tang.’a: + etc. 00 T
Nous retrouvons ainsi la série de Leibnitz , qui a été donnée ci-dessus , n° 110.
116. Il importe de considérer d’ailleurs que les développements
+ etc.
gyX 4 1. J J.
sm. X = 07 + — —
— etc.
cos. X = 1 — — +
etc.
subsistent lorsqu’on donne à l’arc x une valeur quel
Digilized by Goc^le
conque imaginaire x=rm+n|/ — 1. On peut vérifier, en
eflet , que la substitution de m + à la place de x
dans la première série , ou la multiplication des deux séries qui représentent respectivement les valeurs de
c" et donnent le même résultat. On remarquera
de même que
sln. (ffi+ — l) = sin. m. cos. nV^ — 1+ cos./n. sin. ;
or, si , après avoir formé les développements de sin. m
et de cos. 1 , on les multiplie l’un par l’autre, et
on les ajoute au produit des développements de cos. m
et de sin. n , on trouvera le même résultat qu’en
faisant — 1 dans la série qui représente la
valeur de sin. x. On a également
cosS — 0 = cos.TO.cos. — 1 — sin.m.sin.nl^ — 1;
et l’on reconnaît que le produit des développements de sin. m et sin. n\/ — 1 , donne le même résultat que la
substitution de m+ n \/ — 1 à la pl ace de x dans la série qui représente cos x.
Il résulte de cette remarque que les équations posées dans les n°* 113 et 114, qui expriment les relations existantes entre les fonctions exponentielles trigonométriques conviennent également aux cas où l’on attribuerait à la variable x la valeur imaginaire
Formule de Moivre. Résolution des équations binômes. 117. Reprenons l’équation du n° 113 e*^-' =cos.x +\/ — 1 stn. x,
