II

dans laquelle x représente un nombre quelconque , et où l’on peut attribuer indifféremment le signe + ou le signe — au radical — 1. Si l’on écrit mx au lieu de X , m désignant aussi un nombre constant quelconque ( pourvu qu’il soit réel ) , il viendra

e”* = cos. mx-k-V — 1 sin. mx.

Mais si l’on élève les deux nombres de l’équation précédente à la puissance m , on aura

=(cos.j:+V/ — 1 sin.j:)".

Donc .

(cos. x + V' — 1 sin. x)* = cos. mx + l/=î sin.mx,

formule très-importante dans l’analyse, qui a été donnée par Moîvre.

D’après ce qui précède , cette formule se trouve démontrée , quelle que soit la valeur de l’exposant m. On peut y parvenir bien simplement dans le cas où ni est un nombre entier positif en formant les puissances successives de cos. x + \/-i sin. X. £n effet , on a évidem-

ment

(cos.x+|/ — lsin.x)*=cos.*x+2|/ — Isin.xcos.x — sin.'x d’où résulte

(cos.x4- — 1 sinx)’=cos.2x+|/ — t sin.2x :

on a de même

(cos.x+|/ — lsin.x)’=(cos.x+|/ — lsin.x)(cos.2x+|/^ — lsin.2x), d’où l’on tire , en développant

(COS.X+ 1/ — 1 sin.x)^= cos. 3x+ — 1 sin.3x ,

et ainsi de suite.

118. La formule de Moîvre donne immédiatement l’expression des racines des équations

X* — 1 = 0 et x« + lr=0, n étant un nombre entier. Supposons , en effet , x = p (cos.^+ V — 1 sin.ç),

P étant > 0 et f désirant un angle quelconque. On aura donc

X* = p" (C0S.7ly + V/ — 1 sin. 7tf) ; et, en substituant dans l’équation x" — 1=0, p'i(cos. fif+y — 1 sin . Tiy) — 1 = 0.

Cette dernière équation ne peut être satisfaite, d’après ce qui a été dit n“ 111 , qu’autant que l’on aura séparément

2tTT

p"co$.R9 — 1=0 et sin.ns = 0; <&ù o= — etp=l,

i désignant un nombre entier quelconque. Donc

, 2tV — - . 2iV

X = cos. — + V — 1 sm. — , n n

expression qu^doit donner toutes les racines réelles et imaginaires de l’équation x" — 1=0. En effet, faisant 1=0 , on a d’abord x=l , ce qui est la racine réelle que cette équation donne nécessairement : faisant encore 1=2 , 1=3 , i=4 , etc. , jusqu’à i=n — 1 , on aura n — 1 autres racines différentes , qui toutes appartiennent à la proposée. En faisant i=n , on retrouve la racine réelle x=^. En faisant i=n+l , on retrouve la même racine qui avait été donnée par la supposition de i=2 ; et ainsi des autres. Ainsi la formule précédente exprime bien les n racines réelles ou imaginaires de l’équation X" — 1=0 , et seulement ces n racines , qui répondent aux premières valeurs de i depuis 0 jusqu’à n — 1 inclu-

sivement. Nous remarquerons d’ailleurs que dans le cas où le nombre n est pair, l’expression générale des racines

donne , en faisant j= — , x=< — 1 , c’est-à-dire la seconde

racine réelle qui appartient alors à l’équation proposée.

Les racines de l’équation x" — 1=0 ou x’=l , qui

sont exprimées respectivement d’après ce qui précède par

X = cos. — + V — 1 sin. — n n

X = cos. — +V — 1 sin. — n n

X = cos. h y — 1 sin. —

X = cos.

6tt / — - . 6tt

h V — 1 Sin. —

x = cos. H K — Isin. , ,

sont appelées racines de l’unité.