Si l’on substitue l’expression

x = f (cos.» + sin.f) dans l’équation x"+l=0 on trouve de même p"(cos. nt> + V' — 1 sin. nç) + 1 = 0 , équation qui ne peut être satisfaite qu’autant que l’on a séparément

p^cos./jf+l =0 et sin.n® = 0; d’où <p = — - etp=l ,

i désignant toujours un nombre entier. Donc , l’expression

X = cos. — + V — 1 sin. ^

lao

doit donner toutes les racines de l’équation x*+l=0. - En faisant successivement i=0, i=2, etc., jusqu’à

i=n— l , on trouve effectivement , comme dans le cas précédent , n valeurs différentes qui sont les n racines demandées. Et si l’on supposait ensuite i=n, i=/i+’t , i=« 4'2 , et^c. , ces mêmes valeurs se reproduiraient successivement dans le même ordre. Lorsque le nombre n est pair, les racines dont il s’agit sont toutes imaginaires ; mais s’il est impair, l’expression générale des

racines donne , en faisant i=-

x= — 1, c’est-à-dire

la racine réelle unique qui appartient alors à l’équatfon proposée.

120. Ces résultats deviendront plus sensibles si l’on remarque que la circonférence du cercle (yîg.25) ayant été partagée à partie de l’extrémité 0 du diamètre en 2» parties égales , on trouvera , en considérant les points de division 0, 2 . h , 6,8, etc. , de numéro pair , les arcs auxquels appartiennent les cosinus et sinus qui entrent dans l’expression des racines de l’équation x" — 1=0 ; et qu’en considérant les points de division 1, 3, 5,7, 9, etc., de numéro impair , on trouvera également les arcs auxquels appartiennent les cosinus et sinus qui entrent dans l’expression des raciues de l’équation xM-l=0.