Remarquons que les différents angles compris dans

2tTT (2t + l)tr , , . ,1 1

les expressions — ou — - — sent toujours tels que le

même cosinus , et des sinus égaux et de signes contraires , appartiennent à deux de ces angles. L’ambiguité du signe radical — 1 exige en effet que cliaque

racine de l’équation x" — 1=0 puisse également être exprimée par

2»jt , / — - . 2tir

X = cos. — + y — 1 sin. — n n

et par

2l7T ,j — - . Zlrr

r = cos, V — 1 sm. — .

2iV

Or, si l’on multiplie l’un par l’autre les deux facteurs du premier degré

2irr I . 2ln 2t7r , y—— . 2tff

X — cos. y — isin. — et x— cos. \-y — Isin. — ,

on trouve pour résultat l’expression réelle

X — 2x cos. — + 1 , n

qui représente d’une manière générale les facteurs du second degré appartenant à l’expression x" — 1. En effet , sil’on attribue à i , dans celte expression , toutes

les valeurs entières qui ne surpassent pas et si on

l’égale àjzéro, on aura autant d’équations du second degré qui donneront les racines simples de la proposée. Il faut remarquer toutefois qu’en faisant i=0 , l’expression dont il s’agit devient x‘ — “2x+l , ou (x — 1) (x — 1). Cependant on ne devrait prendre que le facteur simple X — 1 , si l’on voulait reproduire la proposée par la multiplication des facteurs correspondants à ses racines. De

même, en faisant i=^. lorsque n est un nomjire pair ,

l’expression précédente devient x’+2x+l , 'ou (x+l)(x+l), et néanmoins on ne doit compter que le seul facteur simple x+1.

On verra de la même manière que les racines imaginaires de l’équation x"+l=0 , multipliées deux à deux, produisent des facteurs réels du second degré, dont l’expression générale est

x'—2x cos.

et donne lieu à des remarques semblables aux précédentes.

122. Les résultats auxquels on vient de parvenir s’appliquent évidemment aux équations , telles que

ar* — a=0 ou x^+a—O,

a désignant un nombre > quelconque ; car, en faisant

^p:=jr, elles reviennent — 1=0 etj'"+l=0. On voit

donc que la racine n"* du nombre quelconque a présente généralement n valeurs, qui sont égales au produit de la •y—

valeur arithmétique V a multipliée par les n racines de l’unité; c’est-à-dire que l’on doit concevoir, afin de donner aux expressions la généralité que comporte l’analyse , la racine n™* de +a représentée par l’expression

( 2iK , / — - . 2ir\

V a I cos. (- V — 1 sin. — I ;

et de même la racine de — a représentée par l’expression .

K.a l cos. hv — 1 sin. I.

On obtiendra les n valeurs cherchées en attribuant successivement <à i les valeurs entières 0, 1,2, 3 — n — 1,

— ia3 —

Quand il s’-agit de +a , il n’existe qu’une seule va-

leur réelle a , si « est impair ; et deux valeurs réelles

si n est pair. Quand il s’agit de r — a, il existe V”

une seule valeur réelle — V a , sï n est impair ; et il n’existe aucune valeur réelle si n est pair.