L’obligation qui nous est imposée de considérer
dans tous les cas l’expression , a désignant un nombre quelconque positif ou négatif, comme présentant un nombre n de valeurs distinctes réelles ou imaginaires , donne lieu à faire quèlques remarques nécessaires pour l’interprétation générale de la formule de Moîvre , présentée n* 117,
(cos. j: + |/=ï sin. xl^^cos. — 1 sin.mx.
Tant que le nombre m est entier , chaque membre de l’équatiou a une valeur unique, et ces deux valeurs sont identiques , comme on s’en assure en formant la puissance m de cos. sin. x par la multiplication.
Mais si l’exposant m est une fraction - ou plus généra-
lement un nombre fractionnaire^ [p et q désignant des
nombres entiers premiers entre eux) , le premier membre doit, d’après ce qui précède, présenter q "valeurs distinctes. Or on mettra ces valeurs en évidence si l’on introduit dans le second membre le facteur
cos. Vv — l
sin. ~fiui donne les q racines de l’unité.
en y attribuant à i un nombre q de valeurs entières consécutives quelconques. Nous écrirons donc
— ia4 —
(cos.ar+|/ — lsin.x)ï=^cos. ^ x+l^ — îsin. - ^cos. +|/ — Isin. ;
ou , ce qui est la même chose,
(cos.x+|/ — 1 sin.x)7= ^cos. -f|/ZIï sin. — ;
Ou enfin , puisque p étant un nombre entier on peut écrire^! au lieu de i,
(cos.x+|/^sin. j;)7 = cos. - (x+2j7r)+k^^sin. - (x+2tV).
Ainsi tout se réduit pour obtenir les q valeurs que doit présenter le second membre de l’équation
(cos. JJ + K=ï sin. jj)î = cos. ^ x+\/ — 1 sin.-jr,
à concevoir que l’on augmente successivement l’angle X des multiples 0,1,2, 3 q — 1 de la circonfé-
rence 2<r.
124. Les résultats précédents donnent également la , résolution des équations de la forme
x*"+ajj»+6 = 0.
En effet , en prenant d’abord la valeur de jj", on a
et si le second membre est réel , il reste simplement à résoudre l’équation
semblable à celle du n° 12Ô.
Si le second membre est imaginaire , c’est-à-dire si h
étant positif d est l’équation proposée, en posant
cos § = \ / et y=^^, peut être remplacée par
l’une ou l’autre des deux équations suivantes ,
— 2cos.g’.^"+l =0, j'»"+2cos.g'.^"+l = 0,
selon que le second terme est négatif ou positif. En considérant^d’abord le premier cas , et substituant dans l’équation
y*" — 2cos.g'. =0
l’expression
= P (cos. T + 1/— 1 sin.'ç) , où P est essentiellement positif, il vient
p*"(cos . 2 /it +1^ — 1 sin .2n(p) — 2 p’cos .^^(cos . ny .ny )+l= 0 ; c’est-à-dire
P’" cos. 2ntp — 2p"cos.g’. cos. nç + 1 = 0 P** sin. 2/1^ — 2p"cos.^. sin. 7i(p = 0,
à cause de sin. = 2sin. n» cos. n -^ , la dernière équation donne
cos.^
valeur que je substitue dans le second membre de la première équation mise sous la forme
— = 2cos.g'cos./if — p"cos.2/i?.
1 COS •J?’ i
Je trouve ainsi — = d’où résulte p*= — ouo=l
p" cos.rti’ p" '
puis
2tTT + g
c’est-à-dire ly :
— ia6 —
i désignant toujours un nombre entier quelconque. Les racines demandées sont donc représentées par l’expression
jr=: cos,
dans laquelle on donnera à i toutes les valeurs entières depuis 0 jusqu’à n. Les facteurs réels du second degré appartenant à l’équation dont il s’agit sont représentés par l’expression
y~2ycos . —
En considérant ensuite le second cas , et substituant dans l’équation
y ” -f 2 cos , gf. J'" -I- 1 = 0
l’expression
^=p(cos.»-t- l/=î
sin. <f) ,
on trouve encore p=l , puis
cos.n»= — cos. g'; dou ç=
Les racines sont alors exprimées par
(2t + l)7rl-g- . 2i7C±g-
yr = cos. + V — 1 sm. ;
et les facteurs réels du second degré par
. „ (2(‘+l)tr+g- ^
y — 2^cos. ^ -f- 1.
125. La décomposition des équations à deux termes en facteurs réels du premier et du second degré correspond à une proposition géométrique très -remarquable, connue sous le nom de Théorème de Cotes, qui l’a donné le premier. A étant le centre d’un cercle (Jig.2G et 27) dont le rayon est égal à l’unité , soit portée sur un diamètre la distance AB=x. Soit un angle quelconque
OBl compté à partir de ce diamètre , et désigné par Appelons la distance Bl. On aura évidemment
y=. |/(cos.® — x)’+sin.f’
et
y' = x' — 2XCOS.Ÿ+1.
Cela posé , imaginons que l’on ait partagé à partir du point 0 le circonférence 2ir en lin nombre In de parties égales , et désignons respectivement par /•> Xî-'-ya»-! les longueurs des lignes BO, Bl, B2, B3 , etc. En attribuant successivemeut à l'angle » dans
l’expression précédente de y' les valeurs
