TT

3* — 2xcos 1- 1

, , ™ 5.jr

yf=x — 2xcos. h 1

. . , (2n— 2)jr ^

y j,>=x — 2xcos. 1- 1

y j„, = X — 2xcos. + 1.

Or, il est visible qu’en prenant respectivement les y^ de numéro pair ou les^’ de numéro impair, nous avons ici

les facteurs du second degré des fonctions x« — 1 et x’+i dont les expressions générales ont été données n° 121. On voit de plus que les divisions, également éloignées des extrémités du diamètre ÂB, donnent pour y des valeurs identiques, en sorte qu’on a toujours

etc. Enfin, on observe que, d'après ce qui a été dit dans le numéro cité , on ne doit prendre qu’une fois les facteurs simples donnés par les facteurs du second degré qui répondent aux points de division placés aux extrémités du diamètre. D’après cela , on aura évidemment

équations qui renferment l’énoncé du Théorème de Cotes.

Si la construction était faite dans, un cercle dont le rayon fût p, on conserverait aux ligues de la figure leurs rapports en réduisant le rayon du cercle à l’unité , et x

à — . Donc on a également f*

y, > y,> etc. , représentant dans ces dernières équations les longueurs des lignes BO, Bl, B2, etc. , dans le cercle dont le rayon est p.

126. Une construction semblable s’applique à la décomposition en facteurs des équations x” — 2 cos. g. x* +1=0 etx’"+2cos. g. x"+l=0 , dont on s’es^ occupé n° 124. D’après les expressions des facteurs réels du second degré qui appartiennent aces équations, et qui ont été données dans le numéro cité, on reconnaît

que les canrés. des lignes BO ,'B4 i B2 , etc. , représenteront ees facteurs, pourvu qu’au lieu de diviser la circonférence en 2« parties ^ales , à partir jde l’extrémité C^du diamètre sur lequel est portée la distance AB=x, on commence cette division [fig. a8j à partir du ^int Q , après

avoir porté l’arc C0 =î=>-. Ainsi , pn désignant toujours

par etc- ■ les lignes BO, B2, B3', etc.,

on a égalemêùt ’ .

X»»— 2cos . g

.r"4^2cos.g^.x"+l=j^,.^,.^,.j',

Cette dernière proposition , dont la précédente n’est • qu’un cas particulier , a été dpnnée par Moîvre.

Remarques sur les expressions imaginaires. Expressions générales des logarilhmes et des sinus et cosinus.

127. Les propriétés des expressions imaginaires "sont uniquement fondées sur les notions exposées dans les

n°*lll et 112, et sur l’identité des expre.ssions '

et cos. x+J/^ — 1 sin. x qui a été remarquée djuis le n° 113 , et qui conduit immédiatement à la formule de Moîvre donnée n" 117. Nous nous Bornerons ici aux remarques les plus simples sur ce sujet.

Les propriétés principales des fonctions simples x", log. X, a*, sin. x ou cos. x , subsistent également lorsqu’on donne à la variable x une valeur imaginaire.

La nature de la fonction x™ consiste en ce que l’on a x"x"=x" + ". Or, en posant

x = .ï(cos. t + — Isint), ,

on a ,

x~<i=s"tcos. sin.^"‘=:s"tcos.n»/+|/ — 1 sia./n/}

x" ±= i*(cos. / +|/ — 1 sin. <)"=is*(cos nf+k”^-^ sin.w<) et par conséquent ’ ' ■ •

’ x”æ''.= i“+"(cos.(OT+«)t+|/ — i sin.(«i+K)f)-=x"+*.

128. La fonction a*4pi.tégaleraentdonner o*a’’=a*+r. D’ailleurs on peut toujours considérer à la place de a* la fonction e*, car pdfeant «*=«”, et prenant dejiart etd’.antre les logarithmes népériens, il vient xla=i> -, en sorte ^ qu’il suffit de multiplier x par Id pour changer a* en e*. '‘.Mais en faisant x=/n+n 1, et J—p^ V ' — L * nous avons

e* = e“+" = e”(cos.n4-|/' — 1 sin.n)

* er=eP+»K^— ■t=eP.eïl'^^=e/’(cos.^+l^ — Isin.^). Donc

c*.er — e"'h’(jcos. (rt 4-13') +^^ — lsin.(n + ^)j= e*+r.

OBservons d’ailleurs que la transformation de a* en e*, opérée en multipliant x par /a , suppose que Ifii soit un . nombre qui puisse être assigné , c’est-à-dire ijue a soit un nombre réel et positif.Xa propriété de Ifli fonction a* dont il s’agit ne subsiste pas sans restriction , lorsqu’on veut attribuer au nombre a des valeurs uégative$ ou imaginaires.

129. La nature des logarithmes consiste en ce que l’on a tbujoürslog. xy= log. xH-log.j-- Cette équation subsistera également en donnant aux variables x, y des valeurs quelconques réelles ou imaginaires , pourvu que la base a du système de logarithmes soit toujours un

nombre réel et positif , coniormément à ce qui a été dit n° 64. En effet , nous pourous considérer Ix a la place de log. a-, puisque , d’après k n° 104,. il suffit de multiplier log. x par -/a pour le changer en Ix. Or,

en posant x=s (cos. sin. t) , j'=u (cos. »'+

et se rappelant qué, d’après le n° 113, e'^—‘ = COS.Ï+ — i sin^ t , d’où t \/ — '1 = / (cos. t sin. t) { noiis aurons

/x=ls + i y — 1 ly ,-= lu+o y —i ,

d’où

lx + ly = l. su + {t+v)y

130. Remarquons d’ailleurs qu’en multipliant par h les deux membres de l’équalion e*V/— > = cos. x +

sin. X , h désignant un nomlire réel quelconque, puis , prenant les logarithmes népériens des deux membres , nous avons •

Ih+x y — 1 = /[/t(cos. X + y — 1 sin. j:}];

Or, l’expression h (cos. x+l/^ — 1 sin. x) peut, d’après le n° 112, représenter un nombre imaginaire quelconque ; d’où l’on conclut que l’équation pré-

cédente donne l’expression générale du logarithme népérien des nombres imaginaires. Ce logarithme est égal au logarithme népérieujdu module h., auquel est ajouté le terme x I/-1.

De plus, l’expression Ji (cos. x+l /' — 1 sin. x) représentera également un nombre réel quelconque positif

lorsqu’on y- supposera Tare xi=2iJl^, i désignant un nombre entier ; et un nombre réel quelconquè négatil krsqu’on y supposera On a, donc respectivement .

- tt+2Mr V — 1

M + (2l + l)irV'^ ■

pour les expressions' générales des logaritfames népériens du nombre positif h , et du nombre négatif — h. Ces expressions doivcait être admises , parce qu’elles satisfont anx équations e‘^=x, et lx+ljr::=l.xj qui résultent immédiatement de la définition de la fonction logarithmique. On voit que le logarithme de tout nombre positif a une seule valeur réelle qui répond à i=o , mais que le logarithme d’un nombre négatif a toutes ses valeurs imaginaires.

131. L’expression précédente du logarithme* d’un nombre résulte d’ailleurs de l’équation

lz = r -

qui a été donnée n° 403. En effet, si l’on suppose l,e nombre r infiniment grand , cette équatipn se réduit à

lz = r (z* — 1 ).

Or, on doit, pour, lui conserver toute sa généralité, y

concevoir ccmformément au n° 122 , z ’’ comme représentant le produit de la racine arithmétique V z par les r racines de l’unité. On doit donc écrire, avec la condition de Éafre r infiniment grand ,

/zsar-j^P'z ^cos. ^ + V/ — Isin. — 1 J ,

ou ..-

fe = r ccfs. -•-ly+V'— l.p^.i'sin.

lyiais r étant infiniment grand , on peut remplacer

‘ ■ 2iV

dans le premier terme du second membre cos. par

l’unité ; et dans' le second terme Y z par l’unité, ;'sin. par 2î»r. Ce. second membre se réduit donc

rO/ Z l) + 2tir V” — 1 , c’est^à-di^e-^ /s + ÿV V — 1 .

S’il s’agissait d'un nombre négatif , on yerfait de la même manière que les racines r‘“" de — z étant elprimé<

généralement, d'après le n“ 122, par

]/-i sin. l’équation précédente donne pour

l’expression de l { — z) ■ * ' •'

lz+{2i + \)-nV^.

{2Î4-l)rr