En faisant i=0 dans. Véquation
/(— l)=(2i+l)T=k^— 1, on trouve ,:=
expression
singulière du nombre n qui a été donnée par Jean Ber-
nouilli. On a d’ailleurs plus généralement ^
Les équations de cette nature sont des conséquences immédiates de la relation qui existe entre les' dévelop pements des fonctions e*, sin. x et cos. x, et s’inter prêtent sans difficulté d’après cette remarque.
. 133. On recoiyiait également que les propriétés essentielles des fonctions trigonométriques sin. x et cos. x, qui sont exprimées par les équations
sin. (x+^) == si;^.,xcosi>^ -t- sin. .y ços. x ■ cos.(x+^) = cos.j:'cos.^ — sin. a: sin. .
conviennent également aux cas où les variables x et jr sont- supposées Imaginaires et remplacées respectivement
parles expressions iw+n|/ — 1 et — 1. H suffit,
pour en être assuré , de se rappeler les remarques qui ônt été fai^s dans les n° 11&. et 116.
134. Si J'en' veut d’ailleurs connaître les eitpressions générales du sinus et du cosinus d’un arb quelconque réel- bu Imaginaire, on remarquera que
cos..(/7i + n V’ —0 = cos. m. cos. n V — 1 — siH.wj.sin.it — 1 sin.(iM-|-/t Ÿ — 'l) = sin. WJ. cos. Il \/ — 1 -Hcos. wj.sin. n — 1
Mais' les expressions de sos. x et sin. x en exponentielles qui ont étédonnées n” 113 , et qui conviennent , d’après le.n° 116 , au cas où l’on attribuerait à x la valeur imaginaire ,n|/ — I , Asnnent
cos. it k^i= Donc
cos. (w»-«-i.l/:=î)=
sin.(wi-f — 1) =
— sin./tK — 1= —
cos. in
S1B.WJ
sin. WJ + V' — 1. cos. WJ.
. '135. On'ne donnera pas ici plus d’étendue à ces notions, et l’on .ajoutera seulement que toutes les relations
analytiques qui pei^TCnt étfe établies entre, les quantités réelles et imaginaires ne doivent* être admises qu'autant qu'elles peuvent être justifiées et interprétées au moyen des équations 'fondamentales qui ont été ' données an commencement de cet article, et qui'reposent elles-mêmes sur l’identité des .développements en séries toujours convergentes des expressions et
cos.aH-(/ — 1 sin. x. • -
On a vu d’ailleurs par les remarques précédentes qiie
les fonctions simples delà quantité imaginaire se transformaient toutes dans des expressions de la forme
On en conclura que la même ebose doit arriver pour les fonctions composées de celles-ci. 11 jen est de même à l’égard des fonctions inversas, telles que arc sinT x ou arc cos. a;; et en général on admet que toute fonction formée de quantités imaginaires peut se ramener à la forme P 4- — 1 , P .et Q désignant des
quantités réelles* .. . •
Expressions des puissances du cosinus él du sinus d un Stn en fonction des cosinus ou des sinus des arcs multiples.
136. Les géomètres ont donné plusieurs séries' #n moyen desquelles les cosinus ou sinus des arcs multiples sont exprimés en fonction des puissances du cosinus et du sinus de l’arc simple , et réciproquement. La- discussion et l’interprétation exacte de ceSi formulés exigent l’application des notions qni ont été présentées n"» 111 et^suivants, et l’on peut voir sur ce sujet les Leçons sur le calcul des fonl;tions d« Lagrange ( 10 et 11' leçon ) , et l’ouvrage deM. Poinsot intitulé, Reeherches sur l‘a-
naljrse des sections angulaires. Ob se Jiomera à prrâeDter içi les expressions suivantes, dont l’usage est utile dans le calcul intégral , en se l)ornant même £ui cas des puissances entières et positives du sinus et du cosinus.
Soit fait ■
^Cos.ar+V^, — lsin.a:=tt,, d’où SlcoS.a?=u + ('
cos.a:— — i sin.j;=»' SV — l|sin.xs=u — V. J J
En développant la puissance m de u+i' par le binôme de Newton , et supposant d’abord que m soit un nombre entier positif, on a donc
, nt(m — 1)
t2cos.x)”==u" + m«“7^ vH — — + v";
oü en remarquant que uv ^ (2 cos. 4-
Gomme on a d’ailleurs généralement par le théorème de Moîvre, n° 117. «■"= cos. sin. mx, cette équa-
tion peut s’écrire .
(2cos. x)" = cos.mx+ m cos. [m — 2)a?H — ^ cos. {m — 4)a^+
'*•' ■ ' +....q*cos. ma:
, +y — l^sia. mx fmün. (m — 2)a: + — sin; (m — i)x +
+.... — sin. mcc J.
La suite qui forme la première ligne présente des termes qui sont tous égaux deux à deux, à l’exception d’itn seul, dans le càs où m est pair. Quant à la su^te qui formo 1^ Seconde ligne elle est toujours formée de termes qui se
— iSt —
détruieent réciproquement. Ainsi Von a, simplement dans' le cas dont il s’agit ; 1° si l’exposant m est pair
(2cos. j:)"=2
cos. mx+mcos. {m—-2)x+ — — - — i cos. (m— 4)x+ +
cos. ix
2° si l’exposant est impair • ‘ ''
(2cos.x)"=2
ços.ffix-f:/Mc 08 .(m— 2)x+ — Il cos. ( ot-^4)x +'.....+
— cos. X
137. Une analyse setnUable (tennera Véxpression des puissances du sinus. En développant la puissance m de U — dans le cas de m entier et positif, on a
(KTÎ .2sin.x)r=M'"— — Hu"— •
ou parce que = 1 ,
(1^—1 .2sin. x)'“=u "‘ — /««"■•-'>+ «™— 4 -- il/".
Les signes + ou — ont lieu respectivement lorsque m est paif ou impair. Mettant ensuite pour u'“ l’expressiçn
cos. sin. mx , il vient
^ cos.wjor— ‘cos.(m — 2)x4- — cos.(/n — 4)x —
' . — ....icos.OTj:
t / — rf • .
+ V — Il sJD.wîx — 79sm!{m— 2)a:H — — sm.(ni — )x —
— ....i sin.
1° Si l’exposant m'est pair là seconde ligne se réduit S zéro , et l’on a
{ — l)*(2sin.-x)"=:2
cos. mx — 7rtcos.(m—r2)jr+ cos. (m — 4)x — . ... +
• ffê •
H: — • — cos. 2x
m(77i— 1 )(to^2).... (^ + i)
Lés signes supérieur et inférieur ont lieu respectivement lorsque m est un multiple de k ou un multiple de 2.
2° Si l’exposant m est impair, la seconde ligne se réduit à zéro, et.l’ou a • • . ' ■ i
( — 1) ’ (2sin.x)"'=2
sin.mx — msin.(m — 2)rH sin.(7rt' — 4)x — ±
wi— 3
cos. X
Les signés supérieur et inférieur ont lieu respectivement lorsque m est un multiple de 4 ou un multiple de 2 augmentés de l’unité.
XIII. EXTENSiO^ UE T.À FORMULE DE tAÎLOft AUX' FONC- TIONS DE PLUSIEURS VAlllABLES.
