Considérons la foncfion

dans laquelle x etj- représentent deux variables indépendantes. On suppose que ces variables prennent respectivement les valeurs x+/i, jr+i. et il s’agit d’obtenir le développement de la^ valeur que pfenc^ra la fonction , c’est-à-dire de f{x+h, jr + i) , ordonné suivant les puissances des quantités h el i* Pour y parvenir, on posera A=a?et i=xccn, et considérant la quantitéy(a;+ 2 ç,^+ 2 >!) comme une fonction du nombre quelconque a, on écrira

* F(a)=y(x + aÇ,y-t-a>»).

Or, on peut développer F(a) suivant les puissances de a. au moyen du théorème donné au n* 86. Noùs' prendrons donc successivement les coctBcients dillérenticls des divers ordres de F(si), qui seront exprimés ainsi qu’il est aisé de le reconnaître , par

rv,/, V vj . O .

en écrivant pour abréger, y au lieu d« y-^xn).

Puis nous ferons dans lès valeurs de ces coefficients , ce qui donnera • ■ •

iD *

F"'iO)=^V+3-

ePz

dx'dj

(Lcdÿ^'"'^

etc.

- Nous aurons donc en appliquant la régie du numéro cité,

^W=»+‘:ri5

dx L dx

+ ;t- »; dy

<r Z , »+Tr,5

æz . •

dxdy

+ etc..

ou, en rèmplaçant-a^ par h et a» par i ,

dx’ 2 d^ 2.3 dx* 2.3.4

+ etc ,

dz . <Tz . dCz h’i d*z h'i

+ — J + fn H 1

dy dxdy dx’dy 2. dx'dyü.i

cTz /£ d‘z Ar d*z AV

dy' 2 dxdy' 'i'^dx'dy'2.2

d^z i’ d*z hi'

. 'dp'ïiï'^ dxdy’^

développement dont la loi est évidente. Le .second terme est la diflérentielle complète du premier ordre de La fonction Z , où l’on a écrit A à la place de dx et i à la place

d6 dy. Le troisième terme est sa dÜlérentielle du second ordre, où l’on a fait lès mêmes chanj^eménts , divisée par ç 2. Le quatrièpae- terme est sa diilérenlielle complète du ' troisième ordre , où l’on a fait le^ mêmes’ cha/igements , divisée par 2.3 ; et ainsi de suite.

Les notiods précédentes s’étendront sans difficulté aux cas où la fonction proposée contiendrait plUs -de deux variables indépendantes , et où l’on sfipposerait que ces diverses variables subissent toutes des accroissements. Les termes successifs du développement sont toujours les diflérçntielles complètes du l", 2', 3', f»", etc., ordres de la fonction proposée, où l’on a remplacé la difïérentielle de chaque variable par la quantité dont pn la suppose augmentée, et qui sont divisés respectivement paf 1,2, 2.3, 2.3. 4, etc.

• WQ. La formule précédente donne également le développement de là fonction suivant puis-

sance de X et y. En y faisant x= 0 et j-=.0 ; puis écrivant X à la place de/t, et y à la place de t, if vient

. „ dz„ x' itz x’

/(•r„r)=^-ô+5^ ^ ^ + etc.,

' ePz^ d'z x'y

dy' 2 dxdy' 2

dy' 2.3

, dz dz (Pz^ ,

Ou nous représentons par valeurs

, ~ dz d Z P Z

que prennent respectivement les fonctions

etc., lorsqu’on y fiiit en m^e temps x=xO etys6.

ÏI en serait de même s.i^e nrtnibre des variables indé-^ pendantes était plus considérable. . *