Si l’on veut arrêter la série a un teirme déter

miné , et connaître les limites de la Valeur du reste que l’on néglige, comme on l’a'’ fait dans les numéros 84 et suivants <1 l’égard des fonctions d’une seule variable, il est visible, par les principes établis dans ces numéros, que dans le développement de F(-/) l’oq devrait dans le terme auquel l’oii veut s’arrêter, remplacer a par Oa , au lieu de faire a = 0; et par conséquent dans le développement de /(x+A,j^ + i) remplacer x par x + 6/i, et^ par 6t, en désignant toujours par 9 un nombre indéterminé compris entre zéro et l’unité. On connaîtra ensuite lès limites cherchées en attribuant-, dans le terme dont il s’agit, à 9 les valeurs qui le rendent le plus grand ou le moindre possible.

Par exemple, si dans le cas de la fonction de deux variables z=.f{xly) on s’arrête aux termes du 3' ordre,, on aura

... , dz éCz h' h?

dx^

dz . dtz . tPj'{x+‘>h^y-\4i) h'i

dxdy dx'dy 2

' (P Z P d\J'{x+0h,y+9i) hi‘

■ djP 2 dxdy^ 2

■ , . df . ^

141w lien serait de même à l’égard du cas où la fonction est 'développée suivant les puissances ascendantes

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des deux variaWesx, y. Si l'on s’arrétp aux tei-mes du 3* ordrè( et si l’on posé Ox^:x", 6y=y , Qn'aurî\ évidemment

fix,y=z. — a:+^,j +

tPz,

•d\f{jdy)

djcP

dx 'dy'

d^-Ax\y)

dx'dy"

En attribuant à 0 les valeurs qui rendent l’expressioh du reste le plus grand et le moindre possible , ôn aura deux limites entre lesquelles la valeur véritable du développement se trouve nécessairement' comprise. »

XIV. MAXIMA ET MINIMA DES FO.NCTIOKS d’üNE OU DE l’LUSIEtJRS VARIABLES. • . . •

H2. Considérons , en premier lieu une fonctibn réelle d’une seule variable

et représentons-nous l’ensemble des valeurs que prend celte fonction lorsqu’on donne à x toutes les valeurs possibles depuis — ^jusqu’à 4^. Si les valeurs de la fonction

y après- avoir 'été croissantes- deyiennerit décroissantes , la plus grande dé ces valeurs est dite un maximicm-, et réciproquement si ces même valeurs , qui diminuaient progressivement, viennent ensuite àaugmenterprogressivement, la plus petite est- dite un minimum. On voit qil’il est possibte*qu’une fonction n’aitpoint de maximum-

ni de minimum, ou qu’elle en ait pl.usieurs. La question consiste.à déterminer les y^leuri de la variable indépeudante x, s’il en existe qui répondent anx maxima ou aux minima de la fonction.

Si la valeur .a de x répondait à un maximum delà fonction réelle fi^x), il eSL visible que y(aj serait plus grande, que f{a + h) ety’(a— /i), h étant Une quantité moindre «que toute grandeur donnée.. De même si la valeur» répondait à un minimum, y’(a) serait plus petite 'quejr(a+A) et f{a — h). D’après cette remarque, la question dont il s’açit peut être facilement résolue.

En développant Jf(x+A) par la formule de Taylor on a

généralement

æ.Jlx) h' d\f(x) h^ ^d\f{x)

et d’après les principes expliqué? dans les n°* 83 et suivants , nous pouvons arrêter cette série à un terme quelconque, en substitu.int aux termes omis une expression dont la valeur est comprise entre des limites qu’il est toujours facile d’assigner. Admettons en premier liqu que l’on s’arrête aux termes du second ordre , et écrivons

<f/(x+0/i) h’ ^ dx' 2

0 désignant un nombre compris entre zéro et +1. Il s’agit de reconnaître les conditions nécessaires pour que f{d) soit plus grande que f(a+h ) , h pouvant être supposée aussi petite qu’on le veut. Or il est visible qu’en prenant h aussi petite qu’on le voujl^a , on pourra toujours faire dépendre le signe de la somme des deux ‘

Digilized by Goc^le

termes —j — h + dx

— du signe du premier terme

, d.f\x') , d' .ff^x->r^h) h . • ■

seul h , puisque — pourra toujours être «

rendue plus petite que D’où l’on conclut, 1® que •

J\a) ne peut être plus grande que /(a-j-A),. quel que soit le signe de h, à moins que Q® soit nul et ^ue

— ne soit aflecté du signe — • ; 2® que f{a) ne peut *

être plus petite que f[a-\-h), quel que soit le signe h, à

df[d) . d'.J\a)

moins que ne soit nul, et que ne soit atiecte

du signe >j-.

Ainsi, pour qu’il y ait maximum ou minimum lorsqu’on fait x=a, il est nécessaire que cette valeur a rende nul le coeflScient dilFérentiel du premier ordre ; et il *5^ aura maximum ou minimum suivant que cette mêmevaleur donnera le signe — ou le signe + au coefficient différentiel du second ordre.

143. n pourrait arriver d’ailleurs que la valeur dont il s’agit rendit nuis les coefficients différentiels des deux premiers ordres. Dans ce cas il est nécessaire de considérer les termes suivants du dévfloppement et d’écrire

<£r’ 2 djd 2.3

dx* 2.3.4‘

Le même raisonnement qui a été fait ci-dessus mon-

treraquesi les termes ~ disparaissent

dx' 2

lorsqu’on faitx=a, la valeur a ne peut répondre à un

maximum ou à un minimum qu’autant qu’elle fera dis-

paraître egalement le terme ■ ' ^ * — ; et qu il y aura

maximum ou minimum suivant que pour cette même < ' * '

valeur le coefficient différentiel du 4 .' ordre

dx*

sera négatif ou positif.

En général , il ne peut y avoir maximum ou minimum pour une valeur donnée de x qu’autant que le premier coefficient différentiel que cette valeur ne rend pas nul est d’un ordre pair ; et il y a maximum ou minimum suiv.ant que ce coefficient différentiel prendra le signe — ou le signe 4-.

144 . Il pourrait arriver encore que la valeur a de x, déterminée par l’équation ^=0, rendît infinis le coefficient différentiel du second ordre et les suivants. On serait averti par-là , conformément à ce qui a été dit dans le n® 88 et les suivants , que la formule de Taylor ne peut exprimer la valeur de la fonction en série ordonnée suivant les puissances entières de h. Les règles précédentes ne peuvent donc plus s’appliquer. On doit examiner d’une manière spéciale la marche des valeurs de la fonction , ce que l’on fera facilement èn la développant suivant les puissances fractionnaires ou négatives de h après avoir fait x=a. 11 faut observer aussi que l’analyse, précédente exclut implicitement les maxiVwa et mi-

nima correspondant à une valeur de x, pour laquelle

la dérivée -7- serait infinie ou discontinue.

K . dx

IS.5. Les notions précédentes deviennent bien sensibles en considérant les courbes dont l’ordonnée y représente les valeurs de f{x), et en admettant, pour fixer les idées, que les fonctions f{x), f{x), f" {x) sont continues. Il est évident en effet qu’il ne peut y avoir maximum ou minimum que dans des points m, n, P , q, r, s {Jlg. 29), où la tangente est p^jral-

lèle à l’axe des abscisses, et où l’on a ^ = 0. De

plus il y a maximum en m et enp lorsque , la courbe

présentant sa concavité au bas de la page , est nég.a-

tif; et il y a minimum en et en ^ lorsque, la courbe

présentant sa convexité au bas de la page, est pOsitiL

Les quantités négatives sont ici regardées comme étant d’autant plus petites que leur valeur absolue est plus grande.

On reconnaît également que Li condition 0 n’entraîne pas nécessairement l’existence du maximu^ft ou minimum, parce qu’il y a des points pour lesquels la tangente est parallèle à l’axe des x, sans que la fonction ait cessé de croître ou de décroître. M.tis ces points sont généralement des points d’inflexion , dans lesquels change le sens de. la concavité de la courbe, et où le coefficient différentiel du second ordre devant changer de signe prend la valeur zéro. Nous reviendrons dans la .suite sur les caractères analytiques qui appartiennent aux divers points singuliers que les courbes peuvent présenter. ' ,