On voit donc, d’après ce qui précède, que pour

trouver les maxima et minima de la fonction proposée jy =J\x ) , en excluant ceux qui rendent infinie ou discontinue la dérivéey^(o;), il faut poser l’équation

qui, étant résolue par rapport à x , donnera les valeurs demandées. On jugera si ces valeurs répondent à un maximum ou à un minimum en les substituant dans le

coefficient différentiel du second ordre , et voyant le

signe qu’elles lui font prendre. Si ce coefficient différent tiel devenait nul. on passerait aux suivants, conformément à ce qui a été dit ci-dessus.

Si la fonction^ n’était donnée que d’une manière implicite , au moyen d’une équation F(x.j') = 0 , on égalerait de même à zéro son coefficient différentiel, déterminé conformément à ce qui a été dit dans le numéro Ifi. L’é-

quation ^ = 0 contiendrait alors x et jr ; mais en

éliminantj)^ entre cette équation et F(x,j-) = 0, il resterait une seule équation en x qui donnerait les valeurs cherchées.

14-7. Les mêmes principes s’appliqueront aux fonctions de deux variables. Mais, pour plus de simplicité , nous supposerons toujours que le théorème de Taylor convient au développement de ces fonctions, ce qui arrive dans la plupart des applications du calcul différentiel. Soit

En développant f{x-\-h, y+i) d’après ce qu’on à vu dans l’article précédent, on aura .

„ . . , •> . dz ^ rf‘/(j:+0A,^+et) A*

,dz.^ rf*/(x+6A,jr + 0t)

rf*/(a:+SA, j'+9t) f

dy^ 2

9 désignant une fraction. Or en prenant h et i suffisamment petits , on rendra toujours le deuxième terme d Z dz

^A+— i plus grand que le troisième terme, et par

conséquent le signe de leur somme dépendra dû signe du deuxième terme seul. Donc pour que les valeurs x = a,^=z A répondent à un maximum ou à un minimum de la fonction z , ce qui exige que f{a, b) soit plus grande ou plus petite que f{a±h, A±;t), il est néces-

saire que le » et par coiiséqueut

puisque les quantités h et i.sont absolument indépen-

• . * ^2 dantes l’une de l’autre, que l’on ait séparément

dz ,

— = 0. De plus il faut qu’en donnant une valeur (luel-

conque aussi petite que l’on voudra aux accroissements

A et I la quantité — + Am- — - soit toujours

négative pour le maximum et toujours positive pour le minimum. Supposons d’abord que l’équation

résolue par rapport à rindéteçminée ^ n’ait que

des racines imaginaires, c’est-à-dire que l’on ait / «Ta V Z d'z

\dx^ J'^dx'''^” condition qui ne peut être satisfaite

d"z tT Z

que si et ^ sont de même signe. Alors la quantité

^*'2 ne pourrajamais ni devenir nulle,

ni changer de signe : elle conservera constamment le

signe de son premier terme ou de -^,.,0000 il y aura

maximum si le coefficient est négatif, minimum s’il est positif.

Si l’on avait au contraire

\dxdy

>, les raciiies de l’équation

■:dy ) dx'‘ dy' ’

da?’ t* dxdy i ' dy'

deviendraient réelles et inégales : p»r suite la quantité

d’z h' d'z ^ %d'A t* *dx' 2 dxdy' 2

serait tantôt positive, tantôt négative. Il n’y aurait donc ni maximum ni minimum.

Mais le cas particulier où ' ^

\dxdy) dx'' dy‘‘

Oigitlzèdtv Coogle

mérite d’étre examiné à part. Âiors Véquatioa

dx' r ^ dxdy i dy' ^

a ses deux racines égales , et en représentant par m le

••“PPortde;;^ a il vient

d'z h' dx'" 2

d z d Z ^ \dz

-Z — hi + - 7 —,. i = -. -7—: (A + wt)’.

dxdy dy 2 dx

Donc la quantité 'A

djd 2 dxdy dx'" 2

est généralement de même signe que et elje ne devient nulle que quand h = — mi. Il y aura alors inaximum ou minimum, si l’hypothèse h = — mi réduit’ à zéro l'ensemble des termes du troisième ordre et rend .

de même signe que l’ensemble des termes du quadx

trième ordre. Le maximum répondra d'ailleurs aux valeurs négatives et le minimum aux valeurs positives

1A8. Si les valeurs a et A qui rendent nuis les termes du premier ordre faisaient également disparaître les termes du second ordre, il est visible qu’elles ne répon-» draient à un maximum ou à un minimum qu’auLant qu’elles feraient également disparaître les termes du troisième ordre en laissant subsister ceux du quatrième. De

plus il faudrait que la somme de ces termes du quatrième ordre conservât constamment le signe — pour qu’il y eût maximum, et qu’elle conservât constamment le signe d* pour qu’il y eût minimum. Et ainsi de suite.

ll»9. Les résultats précédents deviennent sensibles lorsqu’on regarde la fonction z comme l’ordonnée d’une surface , dont X vXy sont les abscisses. Quand la fonction z et ses dérivées sont continues, on reconnaît en effet sur-le-cbamp qu’il ne peut y avoir maximum ou minimum en un point donné d’une surface qu’autant que les tangentes aux deux intersections de la surface faites en ce point par des parallèles aux plans des xz et des^z, sont parallèles au plan des xy, en sorte que le plan qui touche la surface aû point dont il s’agit est lui-méme parallèle au plan des xy. Cette première condition donne les équa-

^tions deux courbes

d’intersection dont on vient de parler présentent leur concavité du même côté , ce qui exige que les coefficients d'z d*z

différentiels et ^ soient de même signe. Mais cette

dernière condition ne suffirait pas seule en général , pour assurer l’existence du maximum ou du minimum. Il faut y joindre celles que nous avons données plus haut.

150. On trouverait d’une manière seinblable les conditions du maximum ou du minimum, si le nombre des variables était plus considérable. Soit par exemple la fonction ,

On aura

d^zg' d'z ' d'zh' d'z . d'z d^zC dv' dvdx^ ^ ds^ dvdy^'^^ dxdy 2

+ etc.

et l’on pourra toujours, en rendant g, h, i suffisamment petits, faire dépendre le signe de tous les termes qui suivent le second ou le troisième du signe seul de ceux-ci. Ainsi les valeurs des variables v , x ,y qui répondront à un maximum ou à un minimum de la fonintion z doivent d’abord satisfaire aux trois équations

De plus il est nécessaire qu'en donnant à t', x, y ces mêmes valeurs la somme des termes du second ordre, que nous représenterons pour abréger par

Ag’ + 2Bgh + CA’ + 2Dg't 4- 2E/ji+ Ft’,

ne change pas de signe , quelles que soient les valeurs supposées aussi petites que l’on voudra , que l’on attribue à g, h, i. Cela exige en premier lieu que A, C et F soient de même signe. Mais à cette première condition viennent s’en joindre d’autres que l’on découvrira aisément par la méthode du n* iVJ, c’est-à-dire en étudiant la nature des racines de l’équation

ÜBgh 4CV 4- 2 D^i 42Eà»+ Fi*=: 0.

Il est évident par exemple qu’il y aura maximum ou minimum si en résolvant cette équation par rapport à g, h ou i on ne trouve que des valeurs imaginaires. Bornonsnous à développer ce cas particulier. Résolvons l’équation proposée par rapport à g : les valeurs seront imaginaires si l’on a

(B/i+Dt)’ < A{CA’+2EAt-t-Ft’) ,

ou bien

(B’— AC) A’+2(BD — AE) Ai AF) i’ < 0 ,

quels que soient h et i. Ainsi il faut d’abord que l’on ait B*— AG<0 et D*— AF<0,

puis, qu’en égalant la quantité précédente à zéro , et résolvant par rapport à h ou .à i , on ne trouve que' des valeurs imaginaires. En résolvant par rapport à /i, on reconnaît que les valeurs seront imaginaires si l’on a