BD — AE)’ < (B’— AC) (D’— AF

Il résulte donc de ce qui précède que les valeurs de déduites des trois équations •

dz dz

répondront à un maximum ou à un minimum 1 “ si elles donnent un signe commun aux trois coefficients difiéren-

tiels du second ordre -r\\ 2° si elles satisfont

dv dx dy

aux conditions

dvdx ) dv' dx' ’ \dvdy } ~dd dy' ’

/ d^z d'z d'z d'z Y r/ d'z Y 4'^ d-'z-xr f d'z Y d'z d'z~\

\jivdx dvdy dv' dxdy) *^\\dvdx) dd dx'\Wylvdy ) dv' dy'\'

et il y aura maximum ou minimum suivant que les trois

coefficients différentiels seront négatifs ou

positifs.

Si l’équation

kg' 4* 2 ^gh + etc. =0

avait au contraire des racines réelles inégales, le maximum et le minimum seraient impossibles. Mais si les racines réelles de cette équation sont égales, la question exigera une discussion semblable à celle qui termine le n“ 147.

151. Pour donner une application des règles précédentes, on supposera que l’on demande la plus courte ou la plus longue parmi toutes les lignes droites qui peuvent être tracées d’un point donné à une courbe également donnée. Désignant par a, A les coordonnées de ce point, et par x,y celles d’un point quelconque de la courbe, l’expression de la longueur des lignes dont ils’agit sera donc

et il faut déterminer la valeur de x par la condition de rendre cette expression la plus grande ou la moindre possible. En dillérentiant par rapport à a; , ou trouve

Digiiizsfi uy GoOglc

et , en égalant le coefficient différentiel à zéro,

X — a + (r — 6)^=0, d’où ^

ax X — a dy

Comme ^ représente la tangente trigonométrique de

l’angle compris entre là tangente menée à la courbe et l’axe des x, on voit que ce résultat exprime en premier lieu que les lignes les plus courtes ou les plus longues, menées du point donné à la courbe, doivent couper cette courbe à angles droits. Si l’on prend ensuite le coefficient différentiel du second ordre , il vient

V {x—ay+iy—b )* [(x—a)'->r {y—byy

et en supprimant le second terme, qui est nul en vertu de l’équation posée ci-dessus, on voit que le signe de ce coefficient différentiel dépend de celui de la quantité

Supposons d’abord que soit positif, c’est-à-dire que

la courbe tourne sa convexité vers le bas de la page. La quantité précédente sera toujours positive si y — b estpositive, c’est-à-dire süe point donné A (y%. 30) est placé plus près de l’axe des x que le point M de la courbe sur lequel est dirigée la normale AM ; d’où il suit que la distance AM sera toujours dans ce cas un minimum , ce qui est

évident. Mais si étant toujours supposé positif, la

quantité y — & est négative , en sorte que le point donné

soit plus éloigné de l’axe des x que le point M , la quantité dont il s’agit sera positive , et il y aura minimum , si

la distance b — y est <

dx'

tandis que cette

même quantité sera négative, et il y aura un maximum ,

si la distance b — ^est > — . Or, on verra dans

la suite, n° 180, que la valeur A — y =

dx‘

tient à un certain point G tellement situé sur la normale, que le cercle décrit de ce point avec le rayon CM coïncide avec la courbe proposée , plus que ne peut le faire tout autre cercle , dans une étendue infiniment petite de part et d’autre du point M. Il est donc évident que ce point G doit séparer sur lu normale les points A, pour lesquels la distance A, M est un minimum , et les points A, pour lesquels la distance A,M est un maximum. Le cas où le

coefficient différentiel , serait négatif donnerait lieu à des renxarques semblables.

153. Nous considérerons encore la question qui consisterait à déterminer les lignes droites les plus courtes ou les plus longues qui puissent être tracées d’un point d’une courbe donnée à un point d’une autre courbe également donnée, x, y étant les coordonnées d’un point quelconque de la première courbe, et x', y celles d’un

point quelconque de la seconde courbe, la longueur des lignes dont il s’agit sera exprimée généralement par

Z=K(x-arT+(r-yr,

expression qu’il faut considérer comme une fonction des deux variables indépendantes x, x, en regardant comme une fonction de x seule, et^' comme une fonction de x' seule. Appliquant donc les règles exposées n° 147, on aura d’abord

dz dz

et en égalant à zéro ces deux coefficients différentiels , , d’où

yH-(r-yjg=o,

. dy'' dx'

Ainsi l’on voit eu premier lieu que la ligne, dont la longueur sera un maximum ou un minimum , doit couper les deux courbes à angles droits. Prenant ensuite les coefficients différentiels du second ordre, il vient, en supprimant les termes nuis en vertu des équations précédentes, •

dx dx'

^\dx) ^Ux' d'Z

y(x-~xy^t,y~yf

D’où l’on conclut que , pour qu’il y ait maximum ou minimum, il faut d’abord que les quantités

fdvV , d'y f^y-'Y '

soient de mémo signe, et de plus que la condition

soit satisfaite. Celte dernière condition suffirait seule : elle entraîne nécessairement la précédente.

Cas où il existe des relations entre les variables. .

153. Dans plusieurs questions importantes, les valeurs cherchées des variables, outre la condition de rendre un maximum ou un minimum une certaine fonction V, doivent encore satisfaire à d’autres conditions qui sont exprimées par des équations données entre ces variables. 11 est visible d’ailleurs que le nombre de ces équations doit nécessairement être plus petit que celui des variables, dont dépend la fonction proposée V.

Soit par exemple

et admettons que les variables y, x, z doivent satisfaire à l’équation de condition

Ii= 0, • .

L désignant une fonction donnée de x, y, z. Ce qui se présente de plus naturel est de résoudre l’équation L = 0 par rapport h l’une des variables , à z par exemple , et de substituer la valeur obtenue dans/T[x, y, z). La fonction V ne contenant plus alors que les deux variables x, *

y, qui seront entièrement indépendantes, on se trouver.! ramené au cas précédent.

De même s’il existait entre les trois variables x, y, z, les deux équations de condition

on tirerait de ces équations les valeurs de ^ et z en a: , et en les substituant dans f{x, y, z ) , la fonction V ne contiendrait plus que la seule variable indépendante x.

Comme il sera généralement très-difficile, ou même impossible , d’éliminer ainsi les variables au moyen des équations données, on peut remarquer que la condition du maximum ou du minimum de la fonction Y exige que l’on ait

d\ ^ dY ^ dY ^ „

— dx + — dy+ — dz = 0 i

et 3c et y dz

et de plus que l’équation de condition L=0 étant diflérentiée, donne

dh , dL , rfL ,

-y- dx + -z- dy-^— rfz = 0.

dx dy dz

Siles v.ariablesx,^^, z étaient entièrement indépendantes, les différentielles t/o:, dy,dz étant arbitraires, la première

équation entramerait les équations séparées —

’on attribue à

^^=0, — =0. Mais les valeurs que

ces diflérentielles doivent satisfaire à la seconde équation. On devra donc prendre dans cette seconde équ.ition la valeur de l’une de ces différentielles , de dz par exemple, et la substituer dans la première, qui ne contiendra plus que dxel dy. On égalera ensuite séj arément à zéro les termes affectés de fes deux différentielles. On

obtiendra de cette manière deux équations en a:, y, z, qui, réunies àl équation L=0, donneront les valeurs cherchées des trois variables.

S’il y avait deux équations de condition L = 0, M=0, on formerait les deux équations diflérentielles <i\à ,

aumo^'endcsqucllesonéliraineraitde l’équation d\ d\

^-^d^y+-^dz=0 deux des différentielles dx, djr, dz.

L’équation restante , réunie aux deux équations L = 0 , M=0, donnerait les valeurs cherchées des trois variables

Cette méthode peut s’appliquer quel que soit le nombre des variables dont dépend la fonction V, et le nombre des équations de condition ; et elle n’exige quedes éliminations entre des équations du premier degré ou linéaires.

154. Mais on parviendra au même résultat d’une manière beaucoup plus simple si, ayant une fonction cpielconque V des variables x, y, z, etc., qu’il s’agit de rendre un maximum ou un minimum, et plusieurs équations de condition L=0, M=0, N=0, etc., auxquelles ces variables doivent satisfaire , on forme les équations différentielles tZL=0, <iM=0, <fN=0, etc., puis, multipliant respectivement ces équations, par des facteurs indéterminés X, U, V, etc., on les ajoute à l’équation dSzsSi, ce qui donnera l’équation unique

r/V-j-X L-f- |x, diVI "i~etc. = 0 ,

Digilized by GoogI

c’est-à-Jire

— lC:i —

— ■ — -h . — '*>”* olc,’.

m» tix' (ty il Z

IdL , dh , di , d L , \

+ X i, —— dv + dx + - — dy 4- -y— dz + etc. j

\ dy

dy + dx + dy + — — dz + etc. I <

\dy

, dy -I- -J— dx + — dy + — - dz + etc.

dy dx dy dz

etc.

En disposant convenablement de X , ji, v , etc., on rendra nul», les coefficients des diilérentielles qu’on veut élimi.nor ; après quoi il faudr.a égaler à zéro les coefficients des autres diilérentielles qui sont arbitraires. Les résultats obtenus ainsi seront les mêmes que si l’on avait regardé toutes les variables comme indépendantes , et par suite égalé à zéro le coefficient de chaque dilTérentiel^e, dans l’équation <ZV+X. rfL + etc. =« 0 : on aura autai^ d’équations distinctes, qui, réunies aux équations L=0, M=0, N=0, etc. , seront en nombre suffisant pour éliminer les nombres arbitraires X, [i, v, etc., et détermi- ‘ ner les valeurs cherchées des variables y, x, j, z, etc.

15^. Soit proposé, par exemple, de déterminer parmi tQ.u& les parallélipipèdes rectangles dont la surface est égale an uombre a, celui dpntle volume est le plus grand ppssil)lé< Représentant par x,y, z les trois côtés du paraRélipipède, la fonction qu’il s’agit de rendre un inaxinium est donc

Y=xyz,

et l’on a entre les trois variables l’équation de condition 2(xy + xz+yz) = a'.

D'après ce qui a élédit ci-dessus, on formera l’équation

yz.dx-\-xz.dy-\-xy.dz |q + \[{y+z)dx+{x-\‘z)dy+{x-\-y)dz\)

qui donne, en égalant séparément à zéro les termes affectés des différentielles dx, dy, dz,

,y=4-i(,r+z) = 0, jtz+1{j:+s)=0, =

Éliminant X entre ces équations, il vient ■ x=y=z,

et en ayant égard à l’équation de condition

Ainsi la condition du maximum exige que les trois cdtés du parallélipipède soient égaux entre eux.

Pour vérifier que ce résultat correspond à un maximum , on remarquera que le terme du second ordre du développement de la fonction 'V=xyz se réduit à

z.dxdy-^y.dxdz-\-x.dydz.

S’il y a maximum, cette quantité doit présenter une valeur constamment négative, après que l’on y aura fait x=y=z, quelles que soient les valeurs attribuées à dx^ dy, dz, pourvu' toutefois que ces valeurs satisfassent à l’équation de condition. Or, en faisant x—y — z, la quantité précédente devient

x[dxdy-\-dxdz+dydz), et l’équation de condition donne

dx-\‘dy-^dz = Q.

Eliminant tlz au moyen de. ccUe écjualion , on a done pour le terme du second ordre dont il s’asjit

— æ [dx dxd) ■+ dj'y,

quantité qui restera toujours négative, (jucllcsque soient les valeurs attribuées à dx et dy