XV. DIFFERENTIELLES DE l’.MHE ET DE LAHC d’dNE COURBE PLANE
156. Soitlacourbe quelconque Mw (//g. 31 ) rapportée aux coordonnées rectangulaires x, y, et dont l’équation
est donnée. L’aire de la courbe est l’espace compris entre l’axe des abscisses , la courbe et deux ordonnées
quelconques PM, pm dont la position est fixée. La première ordonnée PM étant supposée conserver une position fixe-, et X désignant la distance variable op, il est visible que la grandeur de l’aire PM mp est une fonction de l’abscisse x, qui dépend de la nature de la courbe ou de la fonction A^)-
Nous désignerons cette fonction par u. Ï1 s’agit de trouver l'expression de sa dilFérentielle , c'est-à-dire de la variation que subit la fonction u lorsque l’abscisse x augmente de la quantité infiniment petite dx.
Admettons que op ou x augmente de la quantité finie ùx représentée par pq. L’aire u croîtra de An représentée par le trapèze pmnq , et l’on peut toujours supposer Ax assez petite pour que la fonction y(x) étant constamment, croissante ou décroissante dans l'intervallejsijr, ce trapèze
se trouve compris entre les deux rectangles wp et nq^ Nous pouvons donc écrire
ûu=^. Aj:± 6), Ax, ou — =r+ 01 ^
<•> étant une quantité plus petite que £y., nous aurons donc, en prenant la limite des deux membres,
du , - ^ ■
— - =y et du=iY.dj:. ■ - v
dx ^
Ainsi la différentielle de l’aire d’une courbe est égale au produit de dx par la fonction de x qui exprime la valeur de l’ordonnée y, ou si l’on veut l’aire de la courbe est la fonction primitive dont l’ordonnée est le coefficient différentiel ou la fonction dérivée du premier ordre.
157. Considérons maintenait [fig. 31) la longueur.de l’arc d’une courbe comptée à partir du point fixe quelconque M jusqu’au point m dont l’abscisse qp est représentée para:. Cette longueur étant désignée par s et regardée comme une fonction de l’abscisse x , proposons-nous de connaître l’expression de sa différentielle.
•Représentons par pq la différence ^x, qui peut toujours *tre prise assez petite pour que l’arc «correspondant mn tourne sa concavité du même côté. On pourra donc toujours , conformément aux théorèmes d’Archimède, considérer la longueur de cet arc comme étant comprise entre celle de sa corde mn et celle des pai'ties mt+Tif des tangentes menées aux deux extrémités de l’arc. Donc, à plus forte raison l’arc est compris eiilre inr et ns, car nir est plu.s petite que la corde, et st est
plus grandeque nu. Or nir=ix \/ \ I j jmisque
d.fx
représente {a tangente trigonométrique de 1 ’angfe
que forme la tangente au point m avec l’axe des x. Soit
pour abréger «^(x) ac . On aura ?(x+ ^x)
pour la valeur de ^(x) qui convient au point n de la courbe. Donc ns = ;ix.î'(x+ax). Ainsi l’on doit poser
û*> Ax . <f (x) et 4s < Ax|^(p (x) + ou si l’on veut
<i.v(x+S.Ax)
dx
AxJ;
às
Ax
. , </.v(x+9.Ax)
w étant une quantité plus petite que Ax.
D’où l’on déduit, en prenant la limite dont s’approchent indéfiniment les deux membres lorsque Ax tend à devenir nulle
dx
len
ou bien d s dx
158. Nous avons supposé , dans ce qui précède, que l’ordonnée à partir de laquelle l’aire « étant comptée , où le point fixe de la courbe à partir duquel l’arc s était compté, étaient placés de manière que u ei s croissaient en meme, temps que x. S’il en était autrement on devrait donner le signe — à leurs différentielles , et écrire
dii = — ydx, ds= — dx ^ .
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De plus le signe de la dilléréntielle du ctiange avec le signe de l’ordonnée y, et en général , lors(£ue l’on «•ompte les y positives de bas en haut les parties de 1 aire <l’une courbe qui sont situées au-dessus de 1 axe des x sont positives et celles qui sont situées au desso<i8 de cet axe sont négatives. . •: 1
