XVI. DU CONTACT DES COURBES PLANES
159. On dit que deux courbés se touchent lorsqu’elles ont un point commun et une tangente commune. De plus lorsque deux courbes pq, rs touchent la couAe mn au même point M , la courbé pq, qui passe entre les deux autres, est regardée comme ayant avec la courbe mn un contact plus intime que ne le fait la courbe rs. Les géomètres distinguent ainsi des contacts de divers ordres dont les caractères se distinguent facilement au moyen de la considératiou des coefficients diflérentiels ou fonctions dérivées. . ,
Soient
y—f{x) et y—f{x)
les équations des deux courbes rapportées à des coordonnées rectangulaires : x désignant l’abscisse du point commun aux deux courbes, et x+/t l’abscisse d un point voisih de celui-ci , leurs ordonnées correspondantes seront resj)ectivement
dA^), . d’J\x) h'
dx
- -r+etc., et ax Z
rf.e(x) d‘.f{x) fl'
dx
+ etc.
Si elles ont une tiingente commune nu point dont l’abscisse est x,on aura en ce point non-seulement i{.r)=/(x) ,
mais ^ ^ ~ dx condition étant satisfaite , o»
est assuré qu’aucune autre ligne ayant pour équation ^ = ^{x) ne peut passer entre les deux courbes propo-
sees , a moins que 1 on n ait également .En
eflet la différence des ordonnées des deux courbes proposées correspondantes à x+h peut être exprimée par
d‘/(x+rjh)\ A*
tandis que si la condition dont il s’agit n’avait pas lieu,-* la différence entre l’ordonnée de la troisième courbe et celle delà première serait exprimée par ; . >
^d.-^x) dj\x'j\ .•l>(-r'+6A) d^^(x+ih\h’
V dx dx / ^ dx' , ’dx' / 2
' ■ > • Dans toutes ces expressiops, 0 désigne 'un nombre indéterminé compris entre 0 et 1, et qui peut être différent dans les diverses fonctions. Or il est visible qu’en prenant A suffisamment petite on pourra toujours rendre lii seconde expression plus grande que la première. Donc Aucune courbe y= ^x), pour laquelle on n’a point =
tijlx) dx
, pour lesquelles on a
-, ne peut passer entre les deux courbes y =f[x) et d.y\x) d.J\x)
dx
Deux lignes qui ont un point commun, et pour lesfjuelles le coefficient différentiel du premier ordre de l’ordonnée a une valeur commune en ce point, ont entre. elles un contact du premier ordre.
160. Admettons présentement que pour les deux courbes proposées les coefficients difiérentiels des deux premiers ordres aient des valeurs communes. La dillérence des ordonnées de ces courbes qui répondent à l’abscisse x + h sera donc exprimée par
rd'.oix+^h) ’
' dj* da? ) 2.3 ’
Uindis que pour une troisième courbe qui toucherait la première, mais qui ne satisferait pas à la condition dont il s agit, la diflérence des ordonnées serait exprimée par
d',f{x) Y' d'.flx+6h) \h^
^ dx' dx‘ J 2 \ dx^ dx^ / 2.3
Et comme la seconde expression , lorsque 7i tend vers la limite zéro, devient toujours plus grande que la pre.mière, il s’ensuit que la troisième courbe ne pourra jamais passer entre les deux autres. Donc aucune courbe, pour laquelle les coefficients différentiels des deux premiers ordres ne seraient pas égaux à ceux de la courbe ne pourra passer entre cette courbe et lacoui-bc = (f (a:), pour laquelle cette égalité a lieu.
Les lignes pour lesquelles les coefficients différentiels des deux premiers ordres ont une v.ileur commune, sont dites avoir entre elles un contact du second ordre.
