On peut continuer de la même manière, et l’on
verra engénéralqucsilescourbes^=^a:)et y=' 7 {.r) sont •
telles, que les n premiers coeffici en ts di ff éren ticls des fonclionsyjx') et f (x) aient pour l’abscisse x une valeur commune, au(|ucl cas on dit que ces courbes ont un contact
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de l’ordre n, aucune autre ligne 7 = 'J< (^) ne pourra passer entre elles, à moins qu’elle ne satisfasse également à la condition que les n premiers coefficients diSérefitiels delà fonction f (a:), soient égaux aux n premiers coefficients différentiels de la fonction ^(xr) pour l’abscisse ar dont il s’agit. Diverses courbes qui se touchent en un même point doivent donc être regardées comme ayant un contact d’autant plus intime qu’elles ont un plus grand nombre de coefficients différentiels dont les valeurs coïncident. Le nombre de coefficients differenti^s communs distingue les contacts de divers ordres, ce quil serait impossible de faire par la géoniétrie seule.
162. Remarquons d’ailleurs que lorsque delix lignes ont un contact de premier ordre, elles ne se coupent pas en général , puisque la diirérence.des ordonnées dans les points voisins ayant pour facteur /t* ne change pas de signe avec h. Mais lorsqu’elles ont un contact du second ordre, elles se coupent parce que la différence des ordonnées dans les points voisins est affectée de A’, et change de signé avec h. En général , deux lignas se coupent ou non , en même temps qu'elles se touchent , suivant que leur contact est d’un ordre pair ou d’un ordre impair.
163. Les lignes paraboliques sont les plus simples que l’on puisse mettre en contact^vec une courbe donnée. Soit toujours
l’équation de cette courbe, et
“ A4'Bar+ Cj7*+D^*+
l’équation d’une courbe parabolique du degré n. A , B , C, D, H représentent des coefficients constants qui
«îoiVent être déterminés de manière que la courbe parabolique ait un contact de l’ordre n avec la courbe proposée dans le point dont les coordonnées sont x', Ce con-
dy
♦act aura lieu d’après ce qui précède si les valeurs dejy ,
déduites de la seconde équation sont égales
quand on fait x=x' aux valeurs des mêmes quantités déduites de la première. Or, la détermination des constantes A, B, C H se trouvera également effectuée de
manière à satisfaire à cette condition si l’on prend pour l’équation de la courbe parabobque
r'+^(x— jr')+
dy {x-x'T
dx'' 2
rfy {X— x')’ rfy (x — x')»
rfo/» 2.3 rfx'“ 2.3.4. ’
ainsi qu’il est facile de le vérifier.
L’équation de la courbe parabolique dont il s’agit contenait « + 1 constantes arbitraires , et on a pu lui donner un contact de l’ordre n avec une courbe quelconque proposée. En général on peut toujours établir entre une première courbe et une seconde , œi un point donné de la première, un contact dont l’ordre est marqué par le nombre des constantes arbitraires contenues dans l’équation de cette seconde courbe diminuée d’une unité.
164. Si l’on se bornait au J>remier degré on aurait simplement
rfy’ ,
équation d’une ligne droite qui touche la courbe j^=y(xj dans ie point dont les coordonnées sont x' ety. Aucune autre droite ne peut passer entre la courbe et la tangente dont il s’agit. >
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t65. ' L’équation diï second degré donne
^ dx'^ . dx’' 2 '
équation appartenant à une parabole orehnaire , dont l’axe est parallèle à l’axe des^, qui touche également la courbe donnée dans” le point dont les coordonnées, sont x', y, et qui de plus a un contact du second ordre avec cette courbée, ou est osculatrice à cette courbe, suivant une autre expression fréquemment employée par les géomètres. Aucune autre parabole du second degré, dont l’axe serait également parallèle à l’axe des x, ne peut passer entre la courbe proposée et la parabole représentée par l’équation précédente.
166. En général , on voit qu’un point quelconque M d’une première courbe étant fixé, tout se réduit, pour donner en ce point à une seconde courbe un contact de l’ordre n avec la première, à faire en sorte que l’équation de la seconde courbe et ses équations dilïérentiellcs jusques et compris l’ordre n, soient vérifiées par les va leurs de l’abscisse x' du point M, de l’ordonnée^' de ce
' , . dy' d*Y d^r' '
point et des coefficients différentiels > .-i.
dx dx dx *
— V de cette ordonnée.
dx"
