XVII. TANGENTES ET NOKMALES AtX COURBES PLANES. ASYMPTOTES
167. L’équation de la tangente en un point quelconque d’une courbe donnée est, d’après cc qui précède
.r', y' représentent les coordonnées du point de cont.ict ; ilv'
—, est la valeur du coefficient did’érenliel du premier
ordre de la fonction y=. f[pc\ qui a lieu dans ce meme point.
L’équation de la normale, qui se déduit immédiatement de celle delà tangente, est
1 dv'
.r—y= — {-r— a:') = 0, ou x—xy~ {y— y) = 0.
di'
168. Lorsqu’on veut exprimer la direction d’une ligne droite, on suppose cette ligne transportée parallèlemcbt à elle-méme à l’oriiiine des coordonnées , et l’on considère les angles qn’clle forme avec les parties des axes sur lesquels on Compte les coordonnées positives. Nommops ?, 6 les angles que la tangente d’une courbe forme avec les parties des axes sur les([uels on compte respectivement leS a: positives et les / positives. L’angle «aura
pour tangente trigonometrique , et le cosinus de
l’angle 5 sera toujours égaj au sinus de l’angle «. Donc
cos. a —
cos. 6 =
dx'
Si l’on représente de la méhie manière par fi les angles formés par la normale à la courbe avec les partie.s dos axes sur lesquels on compte respectivement les x positives cl lesj- positives, l'angle X aura pour tangente
‘1rigonamélri(jue — et le cosinus de l’angle u sera dæ'
toujours égal au sinus de l’angle). Par conséquent
dy
dx' i
cos. A = —
On pent donner indifféremment le signe + ou le
signe — au radical 14 .^^.^ , maïs on doit lui donner
le même signe dans les expressions des cosinus des deux angles qui se rapportent à la même ligne. Suivant le signe que l’on donnera à ce radical, les deux angles se rapporteront à la partie de la ligne qui est d’un côté ou de l’autre de l’origine des coordonnées. Lorsque ce radical est prispositivementil est entendu que l’on considère la partie MS { fig. 32) de la tangente qui est située par rapport au point M du côté des x positives , et la partie MN de la normale qui est située par rapport au même point du côté des J' positives.
169. On peut aussi, en désignant comme dans len° 157, par ds la différentielle de l’arc de la courbe, exprimer par
cos. * =
dx^
ds'
et
cos. 6 —
ds'
les cosinus des angles que la tangente au point m forme jivec les axes des x et des j" ; et par
ds'
et
cos. U =
dx'
TT
)es cosiivus des angles que la normale au même point forme avec les axes des x et des y. Dans ces formules l’élément didérentiel ds être regardé comme pouvant prendre à volonté leslllne + ouïe signe — , puisque rien ne règle d’avance dans quel sens l’arc s est compté. Mais ou doit toujours lui donner le même signe dans les deux formules correspondantes. Suivant que l’un prendra ds! positivement ou négativement, les angles a, g, ou se trouveront comptés à partir de l’une ou de l’autre des portions de la tangente ou de la normale qui sont séparées par le point de la courbe.
170. Soit le point M ( fig. 32 ) d’une courbe , et supposons la tangente et la normale menées en ce point prolongées jusqu’aux points t et /• où elles rencontrent l’axe des x. L’ordonnée du point de contact est représentée par MP, et l’on a
La tangente M’I'
La sous-tangente PT = =
tang.a ^
dx
La normale MR= ■■ =y \ / 1+ (
cos. a V ' dx J
dy'
La sous-normale PR=^' tang. a =y
I/ordonnée est moyenne proportionnelle entre la soustangente et la sous-normale.
î“I. .\uiis n'mnrqticrons , que réquation priinilivè il une rourl>e est souvent donnée sous la forme
L’équation différentielle est alors
rfF , d¥ ,
et l’on a, conformément au n" k\, -f- = — En met-
dar de
dy
tant cette valeur de — dans l’équation de la tangente du n" 167, elle devient
dV • d¥
On passe de l’équation différentielle de la courbe à l’équa- • tion de la tangente en remplaçant le rapport ^ par le
L’équation de la normale devient de la même manière
On passe également de l’équation diffcrèntielle de la courbe à l’équation de la normale en remplaçant le rap-
dy X — X
port par le rapport — — —
Les anglos formés par la tangente -avec les axes des x et desjt^ étant toujours <lésignéspar a cl 6, ou a
cos. 6 — ■
dji/
/ fdFy
' fe) (^)
Et les angles formés par la normale avec les axes des x et des y étant toujours désignés par X et u , on a
dV d¥
dx/ . ■ dy
cos. X =
i.cos.(i
. / fd¥y fd¥\' ■ . / (d'Py fdvy
\/ \dad ’^Kdx^ V \dx^ \dy)
172. Lorsque les courbes ont des branches qui s’étendent à l’infini, il arrive quelquefois qu’elles s’approchent indéfiniment de certaines lignes droites que l’on a nommées asymptotes. .Les asymptotes sont des tangentes dont le point de contact est placé à une distance infinie de l’origine des coordoiméea. L’équation générale
convient à l’une quelconque des tangentes de la courbe représentée par l’équatiùn F(a:,j^)=0. Elle appartiendra à une asymptote si l’on y suppose les coordonnées af ou y du point de contact infiniment grandes. Par conséquent pour obtenir l’équation des asymptotes d’une courbe donnée, il faut mettre dans l’équation générale des tangentes
la valeur de y' en x' tirée de l’équation F(j?', jy*) = 0, puis faire x' infinie positive ou négative, ce qui donnera
• — r-js —
toutes les asymptotes qui ne coïncident pas avec l’axe desj^, où ne seraient pas parallèles à cet axe. On trouvera cfes dernières, s’il en existe, en mettant dans la même équation la valeur de od t.ny’ tirée de l’équation F(x', puis faisant^ infinie positive ou négative,
et ne considérant que les résultats qui ne correspondent pas à y infinie. '
173. Le même procédé peut s’appliquer au cas où il s’aérait non pas d’une ligne droHe , mais de toute autre courbe asymptotique. Après avoir déterminé, conformément à ce qu’on a vu dans l’article XVI , l’équation de la courbe^ = de manière qu’elle ait un contact du premier ordre avec la coùrbe^=^j:) dans le point dont les coordonnées sont a:', y , on connaîtra la figure que doit affecter la courbe = o(x) pour qu’elle soit asymptote de l’autre en substituant dans son équation les valeurs de j"' en od , ou de x en y données par l’équation y'= f[x), puis faisant x ou y' infinie.
174-. Nous indiquerons qüelques applications de ces formules générales. L’équation àeV ellipse ou de l’hyperbole rapportée aux diamètres, dont nous désignons respectivement par a et b les demi-longueurs, est
L’équation différentielle est
—,dx ± ^,dy=zO, a ■ 0
et donne ^
dy b'x
' dx Ci y
Les équations de la tangente et de la normale seront respectivement
On aura pour les expressions de lu sous-tangente et de la sous-normale ,
sous-
.-tangente = — — x , sous-normale= x + -jj .
La sous-tangente est indépendante du pèlii axe et par conséquent elle conserve la même valeur pour le cercle et pour toutes les ellipses dont îe diamètre pris ponr aie des X a la même longueur 2a. Le rapport dè la sousnormale à l’abscisse est constant pour tous les points d’une même ellipse ou d’iuie même hyperbole.
Dans l’hyperbole équilatcre, dont l’équation eu termes Guis est 'O U
et l’équatioù différentielle .
j'dx+xdj=0 , d’où on a . '
sous-tangente = — j/, sous-normale = -j-,
La sous-tangente est égale à l’abscisse, mais doit être prise à droite de l’ordonhéé.'la tangente formant lin angle obtus a^cc les ar positives.
178. Pour trouTcr les asymptotes de l’hyperbole on mettra dans l’équation de la tangente x'j: ^
la valeur de ^ déduite de l’équation de la courbe
■^=1, qui esf^ s=±\/ , ce qui donnera au ^ b ^ a
« +V oT-b-x''
et en faisant x' infiniment grande il viendra
- X T — 0 ou y= ± - X b ' a
pour l’équation de ces asymptotes.
