Il est visible que le rapport est l’expression

naturelle de la propriété dont nous avons parlé, c’està-dire du degré de rapidité avec lequel la fonction y croît quand on fait croître la variable indépendante X : car plus la valeur de ce rapport sera grande , plus l’accroissement de la fonction sera considérable quand on fera croître la variable de la quantité donnée SX. Mais il est bien important de remarquer

que la valeur de ( à l’exception du seul cas où la

ligne MN serait une ligne droite) dépendra non-seule-

ment de la valeur attribuëé à x, c’èit-à-dife dU pdittt M où l’on s’est placé sur la courbe , mais encore • dé la grandeur absolue attribuée à l’accrdissement Ai:. Si tious laissions cèt accroissement arbitraire , nous sé-

rions dans l’impossibilité d’assigner au rapport ■ — dont

il s’agit aucune valeur précise , et il est absolument nécessaire d’adoptel’ üne convention qui fasse disparaître à cet égard toute indécision.

Supposons qu’après avoir donné à Ao: une valeur quelconque, à laquelle répondra une certaine valeur pour A^ et une certaine direction de la sécante IVÏN, on diminue progressivement la valeur de ajt, 'en sorte que cet accroissement finisse par devenir égal à zéro. L’accroissement correspondant A^ variera en conséquence, et tendra également en général à devenir égal à zéro. Le point N tendra à se confondre avec le point M , et la sécante MjN à coïncider avec la tangente MT menée à la courbe au

pointM. Quant au rapport — des deux accroissements,

il s’approchera également d’une certaine limite , qui est représentée par la tangente trigonométrique de l’angle TMR formé par la tangente MT avec l’axe des abscisses.

Si la variation ajt était négative et dlbiinuait l’abscisse x au lieu de l’augmenter, on pourrait faire les mêmes remarques. A mesuré que la valeur absolue de cette variation serait supposée plus petite et s’approchant davantage de zéro, la variation correspondante i'j de l’ordonnée approcherait également de zéro. La sécante menée par les deux points de la courbe correspondants aux abscisses v + Aj- et r ifendrai't dé plus en

Digilized by Goc^le

|>lüs à secûofbiidre aTec la taiigenta menée au point M correspondant h l’abscisse a-. Enfi® la valeur du rapport

des deux variations s’approcherait indéfiniment de

Fa limite dont on a parlé ci-dessus , * c’est -à-d»re de la tangente trigoDométriqüe de l’angle compris entre la tangente de la courbe et l’axe des abscisses.

7. On voit <jUé lorsque l’accroissement ix , et par c<)nséqueut l’accroissement correspondant , diminuent progressivement et tendent à devenir égaux à eéto , le

rapport de ces accroissements s’approche en général d’une limite dont la valeur est finie et déterminée. Or la valeur du rapport correspondante à cette limite doit

être considérée comme donnant la mesure véritable et précise de la propriété dopt il a été question a° S , c’està>dire de la rapidité avec laquelle la fonction varie quand on fait croître la variable indépendante : car il ne res^ dans l’expression de cette valeur rien d’arbitraire ; elle ne dépend plus des valeurs absolues des deux accroissements ax et , ni de la figure de la courbe à une certaine distance finie de part et d’autre du point M. Edle dépenfl seulement de la direction de la courbe en ce point, e'eslà--dire de l’inclinaison de la tangente sur l’axe des abscisses. Le rapport , ainsi déterminé , exprime ce que Newton nommait la fluxion de l’ordonnée. Quant à la manière d’en trouver dans chaque cas particulier la valeur, il est visible qu’il suffit de considérer l’expression gérié- ' taie

et de voir (quelle est la limite dont cette expression s'ap- ' proche à mesure que Ax prend des valeurs de plus en plus petites , et tend à devenir égale à zéro. Cette limite sera une certaine fonction de la variable indépendante x, dont la nature dépend de celle delà fonction donnéey(jJ).

8. Il est nécessaire de distinguer le cas où l’on regarde ainsi l’accroissement sx de la variable indépendante comme s’approchant indéfiniment de zéro , ou ayant une valeur iiilflétermiuée plus petite que tout nombre donné. Cet accroissement est dit alors infiniment petit. L’accroissement correspondant a aussi alors en général une valeur plus petite que tout nombre donné , ou infiniment petite , dont le rapport avec àx est déterminé. Ce rapport doit être regardé comme s’approchant indéfiniment de la limite dont il a été question ci-dessus , ou différant de cette limite d’une quantité moindre que tout nombre donné. •

La considération de la limite dont il s’agit étant trèsÿmporlante , les géomètres lui ont affecté des dénominations et des signes particuliers. Les variations ^x et sont appelées en général les différences de la variable x et de la fonction jy , parce qu’on considère Aa: comme la différence de deux valeurs consécutives de a: , et comme la différence des deux valeurs correspondantes dey. Mais si Ax et iiy sont supposées infiniment petites , ces différences sont alors appelées les différentielles des variables X et y ; et pour distinguer ce cas on emploie la caractéristique à la place de A , en écrivant dx et dy. La limite

vers laquelle tend le rapport —, à mesure que AX dif-

j , . , dy

fère de moins en moins de zéro , est exprimée par

La fonction de xqui donne la valeur de la limite ^ est

appelée coefficient différentiel , ou , d’après Lagrange , fonction dérivée , parce qu’elle dérive de la fonction primitive f{x) , et peut se déduire de cette fonction par des opérations déterminées.

En considérant sous ce dernier point de vue la limite dont il s’agit, Lagrange représente la fonction dérivée de y ouf (x) par y ou par ff {x\ , notations qui sont fréquemment employées par les géomètres.

9. Remarquons que la distance NR, qui représente la dillérence Ay, est composée de deux parties TR et NT , qui toutes deux tendent à devenir nulles quand \x approche d’étre égal à zéro. Comme l’angle TNR a pour

tangente trigonométrique la limite de , ou on ' dy

a TR = A X. Quant à la ligne NT , puisqu’elle devient nulle en même temps que Ax , on peut la représenter en général par oAx , u désignant une fonction de x et' de Ax. Nous écrirons donc généralement

l^y dy

AX dx

Tant que les accroissements Ax et ty conserveront des valeurs subsistantes , aussi petites qu’on le voudra , la quantité o> conservera elle-même une valeur semblable ; mais si l’on pose ax=0 , on aura «=0 , puisque , dans

cette hypothèse , le rapport — devient égal à

ii*z' djc

Si donc on veut indiquer que l’on considère , non pas

la valeur véritable du rapport-^, mais la lirni^e vers

lO —

laquelle tend cette valeur lorsque et àjr tendent à devenir égaux à zéro , ce que l’on fait, comme on l’a dit cidessus , en remplaçant ùx par dx et par dy , il faudra

supposer w nulle , et écrire sitnplement dj^ s* dx.

C’est ce qu’on exprime en disant que la diflérentielle de la fonction y est égale au produit de la dilléi^ntielle dx

de la variable indépendante par la limite du rapport des différences correspondantes des deux variables j

et c’eSt par cette raison que cette limite — est nommée

coefficient différentiel. Le principe dont il s’agit est mis en évidence par la nature de la notation que nous présentons ici et que les géomètres ont généralement adoptée d’après Leibnitz.

10. En résumant les notions précédentes et considérant une fonction quelconque d’une seule variable indépendante X, on doit se représenter la variable x comme croissant progressivement depuis — « jusqü’à -f oo.et prenant successivement des valeurs dont chacune surpasse la précédente de lo quanti lé dx supposée infiniment petite, c’est-à-dire plus petite que toute grandeur donnée. Cette quantité dx , exprimant la différence de deux valeurs consécutives de x, peut être supposée à volonté constante ou variable dans toute l’étendue de la série. Mais. quand il s’agit d’une variable indépendante ,.il est plus simple , et dans l’eSpritdü calcul différentiel , de supposer la différentielle dx constante. A mesure que l’on passe ainsi d’une valeur a de x k une autre valeur A, par un nombre infini de termes intermédiaires séparés par l’intervalle

constant , on passe également de 'la valeur b de la fonction^, correspondante à la valeur a de a:’, à la valeur B correspondante à la valeur A. Chaque fois que x croit delà diHérentielle dx , varie delà difiérentielle correspondante dy, qui peut être positive ou négative. Nous régardons la différentielle d x , qui est arbitraire, comme constante , et nous lui attribuons toujours la même valeur, quelle que soit x. Mais xetdx étant données , dy dépendra de lit Oature de la fonction. On connaîtra éette dernière difiérentielle quand OQaurct déterminé, enfoOC-

tion de la variable x, l’expresi^(|^ë la limite du rap-

port ^ , puisque l'on a tou|

dx

dx

Cette

limite exprime et mesure la rapidité avec laquelle la

valeur de la fonction varie dans les diverses parties de son cours , à mesure que la variable varie elle-même.

11. Nous n’ajouterons ici qu’une remarque dont l’évidence est bien frappante. C’est que les diQérentielles indiquées ci-dessus par dx et dy représentent toujours des quantités de même nature que les quantités représentées par les variables x et y. Ainsi dans la géométrie, ïorsquè’x représente .une ligne, une aire, un volume, la difiérentielle dx représente elle-même une ligne, une aire ou un volume. Les différentielles sont des quantités censées plus jietites què toute grandeur donnée; mais cette hypothèse n’altère pointla nature de ces quantités : dx et dy sont toujours homogènes avec x et y, c’est-àdirè présentent toujours le même nombre de dimensions de l’unité au moyen dé laquelle les valeurs de Ces variables sont exprimées.

11 . DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS SIMPLES ü'tJNE SEULE VARIABLE.

12. Différentier une fonclion , que nous dési^^nons toujours par

c’est chercher l’expression de sa différentielle dy, ou de la variation infiniment petite que subira lorsque la variable indépendante x croîtra de sa différentielle dx. D’après ce qui a été dit dans l’article précédent, cette recherche se réduit à considérer le rapport

ax Ax ’

et à déterminer la limite -j— , dont la valeur de ce rap- • dx '■

port s’approche indéfiniment à mesure que ix approche de devenir égale à zéro. On aura eu eüet pour la différentielle cherchée

dv

dv = -^.dx.

•' dx

Or il existe dans l’analyse un petit nombre de fonctions simples ou élémentaires pour lesquelles l’expression de la limite dont il s’agit exige une recherche spéciale. Quand on l’aura effectuée pour ces fonctions , une fonction quelconque, qui sera toujours composée des premières, ne présentera plus de difficultés.

' 13. Ces fonctions simples sont: 1° la fonction x",

c’est-à-dire la variable élevée à une puissance marquée par l’exposant m, qui peut représenter tout nombre constant entier ou fractionnaire , positif ou négatif-

ü'j La fonction logarithmique, ou log. jî. On sait que l'on entend par log. a:, l’exposant de la puissance à la- ({uelle on doit élever un certain nombre constant, appelé la hase du système , pour obtenir le nombre x ; en sorte que fl désignant cette base, on aa'°S'*=a:. Par conséquent, en donnant la fonction log.jc , il faut toujours donner la base a du système auquel appartient le logarithme.

3“ La fonction exponentielle a”, dans laquelle la variable est l’exposant de la puissance à laquelle un nombre constant doit être élevé.

Les fonctions trigonométriquessin.xetcos. x, dans lesquelles x désigne un arc 'quelconque compté d’une origine fixe sur la circonférence d’un cercle dont le rayon est égal à l’unité.

Nous allons considérer successivement ces diverses fonctions.

I» Fonction , m désignant une constante.

Ils. Le cas le plus simple est celui où l’exposant m est un nombre entier positif. Il est très-facile alors de trouver la diilérentielle de la fonction^. La formule générale, rappelée n® 12, donne

{x+^x)" — JT"

ou eu développ?" ,t le terme {x+ Aa;)"* par la formule du binême de Newton, qui est démontrée dans les éléments d’algèbre pour le cas de l’exposant m entier et positif,

Av

— s=mx"~' ijr

m(m — 1) - mlm — — 2)

. x--*(Aj:)’+ +(Ax)— .

Or, quand ir lend à devenir nulle, tous les termes du second membre tendent également à devenir nuis, à

ûv

l’exception du premier. La limite du rapport ~ , c’est-

à-dire le coefEcient différentiel ou la fonction dérivée de X", est donc

~dx

et l’on a par conséquent , pour la différentijç)lg de cçtte fonction ,

dy = mx^-' . dx.

Itt. Cette formule donne également l’expression dçla différentielle demandée, quelle que soit la cpnstsnte m. Ppur le démontrer , observons que l’on u ( )" ~

t+ — j .X" , d’où il suit que la quantité^ peut être

mise sous la forme

Soit fait pour abréger-^ =«. On voit qu'il s’agit de trouver la limite dont s’approche indéfiniment le rapport lorsque la quantité « tend à devenir égale

à zéro. Or, a étant supposée infinimei|,t petite , on peut

écrire évidemment

té

C étant également une quantité infiniment petite qui deviendrait nulle en même temps que x. L'expression

précédente de ^devient alors

— il) —

en sorte que tout se réduit à trouver la limite du rap-

port