Pour y parvenir, considérons l’expression

et proposons-nous de trouver la limite vers laquelle tçnd sa valeur lorsque a tend à devenir égale à zéro, * étaftt regardée comme pouvant prendre une valeur quelconque^ pourvu qu elle soit plus petite que toute grandeur donnée , on peut écrire a = , en désignant par i un nombre

^ • entier plus grand que tout nombre donné- L’expression

dont il s’agit devient alors

et en la développant par la règle du binôme , on a

• p + etc.;

ou, ce qui est la même chose ,

* e\ n ' fx a

Mais quand on suppose que i augmente indéfiniment , les numérateurs de chacun des termes de ce développement tendent tous à devenir égaux à l’imité. D’où l'on conclut que la limite dont s’approche indéfiniment l’ex-

■+ etc.

pression proposée (l+a)*, lorsque a tend à devenir nulle, est exprimée par la série '

Cette série est évidemment convergente, c’est-à-dire qu’en prenant un nombre de .termes de plus en plus grand , les résultats approcheront continuellement d’un certain nombre irratioimel qui ne sera pas dépassé. En eflet , tous les termes étant positifs , leur somme augmenté progressivement à mesure que l’on en prend un plus, grand nombre , et l’on distingue facilement deux limites entre lesquelles cette somme est comprise. Sa valeur est plus grande que 2, et plus petite que 2 aug-

mente de la progression géométrique + g +

La somme de cette dernière progression étant égale à l’unité quand on la suppose prolongée à l’infini , on voit que la valeur de la série est comprise entre 2 et 3. Le calcul en est facile , et en se bornant à six décimales on trouve

-+ etc. =2,718282.

Ce nombre étant d’un grand usage dans l’analyse, les géomètres le représentent par la lettre e.

Il résulte donc de ce qui précède que l’expression

(1+»)* a pour limite, lorsque xtendàdevenir égaleà zéro, un certain nombre représenté par e, dont l’expression est ^

c= 1+1+^ +^+^ + etc. = 2,718282;

et l’on peut rem.irquer que cette proposition subsiste également lorsque a est négatif. Car on peut écrire •

f désignant une quantité infiniment petite qui devient nulle en même temps que ; d’où l’on tire

la limite du second membre étant le nombre e , ce nombre est également la limite du premier membre.