L’équation de la logarithmiqué jr=\og.X
donne, en changeant l’une pour l’autte les coordonnées,
l’équation , ' ,
a désignant la base du système de logarithmes, que nous supposons toujours plus grande que l’unité. L’équation difFérèntielle déduite de cette dernière est dy= la.a^dx :
ainsi l’on aura respectivement pour les équations de la tangente et de la normale
y—y=^la.a*‘(x—jd)
On trouve également " <
sous-tangente = , sous-normale = la.a*’’ .
la
Ainsi la sous-tangente est constante et égale au module du système de logarithmes. Mais la sous-normale augmente rapidement à mesure que le point de contact s’éloigne de l’origine des coordonnées.
Si d’après ce qui a été dit n° 172 , on remplace^ par sa valeur a*' dans l’équation de la tangente , il viendra y — — xf).
Faisant ensuite a;' — — - cette équation se réduit à
d’où l’on conclut que l’axe des y est asymptote de la courbe «lu côté des x négatives. 11 laut remarquer ici «jue
Tpii doit prendre 0 pour la valeur du terme- — lors-
que l’on fait jc' = — Car ce produit revient à dans
lequel on ferait x' = -. Or a étant >1, la est positif.
L’équation a*' =i+x la+— (/a)’+ donne par snite
a*' > — (/a)’ et —, < valeur du rapport
dont il 's’agit a zéro pour limite quand x'est supposée croître de plus en plus et devenir plus grande que toute ligne donnée.
178. On a nommé cycloîde la courbe décrite par un point d’une circonférence de cercle roulant sur, une ligne droite. Les propriétés très-remarquables de cette courbe ont plusieurs apjdica lions importantes dans la géométrie et dans la mécanique. Soit C {fig- 33) la position actuelle du centre du cercle , et m celle du point de sa circonférence qui décrit la courbe. Nous prendrons pour axe des -x la ligne droite sur laquelle roule le cercle, et pour origine des coordonnées le point 0 où le point m se trouvait sur cette ligne à l’instant où le mouvement a commencé. Les coordonnées x^y étant donc représentée^ par op et mp , on aura évidemment, en désignant par B. le rayon du cercle dont le mouvement décrit la courbe, et par w l’angle mCr compris entre le rayon vecteur Cm et le diamètre de ce cercle qui est perpendiculaire à l’axe des x, x = R(u — sin.w), ,y=R(l — cos. w) ;
d’où
cos. 01 =;. — ^ — , sin.6> =
et par conséquent
x=R. arc cos.
pour l’équation en termes finis de la, courbe. Elle présente une infinité de parties, soit du côté des x positives, soit du côté des x négatives, toutes situées au-dessus de l’axe des x , égales entre elles , et occupant chacune sur cet axe un intervalle Oa égal à 2nR. Chaque partie est d’ailleurs formée de deux moitiés dont la figure est symétrique.
Les deux expressions précédentes de x etjr étant différentiées donnent
Donc
dx
dx = Tk(,l — cos.»)£i«, . rf>' = Rsin.we?».
sin.M ^
1 — cos.» y y y
Les équations de la tangente et Je la normale sont, respectivement d’après les fomiules générales du n° 167,
yy—y—
On a de pjus
, V y 2Rr'
tangentes y V
sous^tangente = —
normale — âRy''
sous-normale = y’àRy'—y'l
La normale coupe toujours l’axe des x au point où cet axe est touché par le cercle générateur.
