XVIII. CERCLE OSCCLATEUR. DÉVELOPPÉES DES COURBES PLANES

179. La ligne la plus simple après la ligne droite est le cercle , et comme son équation contient en général trois constantes dont on est libre de disposer, on peut donner à un cercle un contact du second ordre avec une courbe quelconque. Revenons aux notions présentées dans les numéros 159 et suivants. Soit

l’équation d’une courbe quelconque proposée, et

l’équation d’un cercle quelconque, a et 6 désignant les coordonnées du centre, et p le rayon. 1° D’après ce qui a été dit numéro 164 , on donnera à ce cercle un contact du premier ordre avec la courbe proposée au point M dont les coordonnées sont x , y' , si l’on détermine les constantes a, 6 et p de manière que l’équation du cercle et son équation différentielle du premier ordre , qui est

a— ar+(e— =

dy'

soient satisfaites par les valeurs de od, y“, —, qui appar-

tiennent au point M dans cette courbe proposée. Nous avons donc ces deux équations

(a-xr+ {6-/r=p

auxquelles les valeurs de a, 6, p doivent satisfaire. La seconde, en considérant « et 6 comme des coordonnées variables, appartient à la normale menée à la courbe au point M , et l’une de cés coordonnées demeure indéterminée. On en conclut que tout cercle dont le centre sera placé sur la normale touchera la courbe, résultat qu’il était facile de prévoir.

180. Pour donner au cercle un contact du second ordre avec la courbe proposée au point M , il faut que l’équation de ce cercle , son équation différentielle du premier ordre, et son équation différentielle du second ordre, qui est

soient satisfaites par des valeurs de a! , y", qui

appartiennent au point M dans cette courbe proposée. Nous avons donc maintenant les trois équations

rfy'

par lesquelles les valeurs des constantes a, 6 et p sont entièrement déterminées. On en déduit

rfo//

Kg)T

da/' .

rfy

expressions qui font connaître la position du centre osculateur ,el la grandeur de' son rayon. Le signe, de la valeur du rayon p est indéterminé à raison du

radical J ’ 1'^' être pris posi-

tivement ou négativement; mais il n’en es t pas de même des valeurs des quantités a — x' et ê — ■y’, qui sont les prc^’ections de ce rayon sur les axes des x et des y. Le signe de ces quantités indique de quel côté de la courbe le centre du cercle osculateur doit être placé sur la normale : on reconnaît facilement que ce centre se trouvera toujours placé , comme cela doit être, du côté de la concavité de la courbe.

181. La détermination du cercle osculateur donne la mesure de la courbure d’une ligne quelconque en un point donné. Pour se former la notion de la courbure on admet qu’à partir du poiut de contact M on s’avance sur la courbe jusqu’à un point voisin N, et que l’on compare la distance NT de ce point à la tangente avec l’intervalle MN parcouru sur la courbe. La limite

vers laquelle tend la valeur du rapport lorsque la distance MN tend à devenir égale à zéro est la me-

sure de la courbure de la courbe au point M. Dans le cercle la courbure est égale dans tous les points , et de plus elle est pour divers cercles en raison inverse de leurs rayons. Gir soit MN= o dans le cercle dont

le rayon eSt R : on aura NT = R^.l — cos. ^ j ,

mn'

quantité qui , à mesure que a di-

miaue , tend à se réduire à

Comme le eercle oscula-

teur dans le voisinaj^e du point de contact s’écarte moins que tout autre cercle de la courbe proposée , on regarde la courbure du cercle osculateur comme donnant la mesure déjà courbure de la courbe, qui est

ainsi proportionnelle en chacun de ses points à - ,

en désignant commp ci-dessus par p le rayon du cercle osculateur en ce point. Le rayon du cercle osculateur est souvent appelé par cette raison rayon de courbure.

Regarder le cercle osculateur comme donnant la mesure delà courbure de la courbe, c’est admettre que dans une étendue infiniment petite de part et d’antre du point de contact, le cercle et la courbe peuvent être pris l’un pour l’autre. Cette seule hypothèse suffit pour établir les résultats précédents. Soit en effet s l’arc de la courbe compté jusqu’au point dont l’abscisse est x, et T l’angle compris entré l’axe des x et la tangente de la courbe menée au méine point, les quantités « et r étant regardées comme des fonctions d& x. Lorsque cette abscisse X croîtra de dx, s croîtra de ds, et t croîtra de La différentielle d- représentera l’angle compris entre les deux tangentes de la courbe rftenées aux points qui répondent aux abscisses x et x-\-dx, ou si l’on veut l’angle compris entre les deux normales menées à la courbe en ces mêmes points. Or l'arc ds étant regardé comme appartenant au cercle osculateur dont le rayon est p, on a

ds=p. dr,

c’est-à-dire

d’où l’on tire comme ci-dessus

dx'

La longueur du rayon de courbure étant déterminée , la position du centre du cercle osculateur est connue , puisque l’on sait que le rayon de courbure est dirigé suivant la normale du côté où la courbe tourne sa concavité.

Nous omettons ici, pour plus de simplicité , les accents dont les lettres x , y sont affectées dans les formules des numéros précédents. On n'oubliera point qu’elles expriment les coordonnées du point où la courbe proposée est touchée par le cercle osculateur.

182. L'angle dt , ou l’angle compris entre deux tangentes ou entre deux normales à la courbe , menées aux extrémités de l’arc infiniment petit ds, est appelé angle de contingence. Comme on déduit de l’équation précédente

on voit que le’rayon de courbure est égal à l’élément de l’arc divisé par l’angle de contingence.

183. Si nous supposons d’ailleurs , comme on l’a fait dans le n“ 171, que l’équation de la courbe proposée soit donnée sous la forme

— iBg —

On aura d'après le n° 72 ,

dy dx

dx d'P

d'y \iïî Y / dx' dx dy dxdy / dy'

djd /<iFY '

et en mettant ces valeurs dans les expressions de a,6etp du n° 181, il viendra

cLr

/dF\

dF dF (

dFV

^dyJ

dx dy dxdy '

■dx'

dy'

dF . dy

dF dF d'F 1

'dF\

\dyJ

dx'

dx dy dxdy '

<dx)

fdF)

„ dF dF d'F ,

rdF\

^dy)

dx'

” dx dy dxdy

^dxJ

dy'

184. Nous avons supposé dans ce qui précède que l’abscisse x était prise pour variable indépendante. On peut aussi faire varier également x et jr, en regardant ces deux coordonnées comme des fonctions d’une troisième variable, quelconque. Dans ce cas l’équatiou du cercle et ses deux équations diilérentielles du premier et du second ordre étant

{<i—x)dx+{%—y)djr — 0 dx'+dy— [a— x)trx — {là —y) d'y =zQ,

on trouve, en désignant par l’élément de la courbe, y'dx'^dy,

dyds' dxds'

^ dxd‘y — dyd^x' ^ dxdy — dyd‘x'*

ds^

^ dxd'y — dyd'x'

On parviendrait aux naémes résultats en substituant

dans les expressions du numéro 180 les valeurs de d'y

données dans l’article IX pour le changement de la

variable indépendante. Les résultats dont il s’agit conviennent sans modification au cas où l’arc s est pris pour la variable indépendante , et où, par conséquent, la dilIérentieUe ds est supposée constante.

On peut d’aiUeursles représenter sous une autre forme, en remarquant que

(dxd'y — dytCx'''=ds' [{d'X:'‘ + (d'yY\ — (dxd'x + dyd'y)' =.ds'[{d'x)'^d'yY-(dHy]i

et d’autre part que

— dy (dxd'y — dyd'x) — ds (dsd'x — dxd's) = ds^ . d J

dx(dxd'y—' dyd'x) = ds (dsd'y — dyd's) = ds^. d •

Il vient donc

V et X =

(d'x)'+(d'y)'—\,d'sr'

(d‘x)^+[dy)'—(d's)'

ds'

— lûl —

On conclût de ces exptçsÂdnti qa’en ^présentant par X et fl les angles formés ]pà»V téS àxès des x et des^ par la partie de la normale sur laquelle est placé le rayon p i

on a

Si l’arc s est pris pour variable indépendante , on fera <^^ = 0, et l’on remplacera

.185. Les résultats auxquels on vient de parvenir deviennent très-sensibles lorsque la courbe est regardée comme la limite d’un polygone dont le nombre des côtés augmente de plus en plus. Soient /, m, n {fig. 34 ) trois points de la courbe proposée dont les abscisses op , oq , or sont x, x-{-dx, x+dx + d [x-^dx) ou x-^-^dx+d^x. En prolongeant l’arc Im considéré comme une ligne droite , formant le triangle mbc égal au triangle lam, traçant en •, et menant cd et ce perpendiculaires sur nr et mn ( que l’on considère également comme une ligne droite ) , on voit que cd représente cTa:; nd, d^y, et«e, d's. Mais ne ~ )/

Donc ce= \/ — (d*s)’. Or — est l’angle de

contingence , c’est-à-dire — , donc

ds ^[d^xy + [dyy-{d^'^^ f> ds

De plus ~ représente le cosinus de l’ange alm formé par la tangente au point / avec l’axe des x. Or quand on

Dlgitizcd

passe du point l au point m, ce cosinus, varie d'une quantité propof tionnelle à la projection de ce sur mb. Donc

ce 1 «

. cos. > = a —T • Dn a de meme — . cos. ii = a[ -y ).

\dsj cm \dsj

D’où l’on conclut

cos. 3k :

djc\ d s)

cos.p =

V{d‘x)'-{-[d‘:yY—{d‘sy' ' y {d‘x)'Jri,dyy—{d‘sy

expressions qui reviennent aux précédentes.

Développées.