Soit toujours

l’équation d’une courbe donnée. Nous aurons d’après le n' 180, pour déterminer le cercle osculateur au point de cette courbe dont les coordonnées sont x,y les trois équations

dans lesquelles a , g représentent les coordonnées du centre de ce cercle, et p son rayon. Les valeurs de a et 6 déduites de ces équations ont été données n® 180 et sont

dx' dx^

* ' dy • d*r ^

, En nrettantpourj',^ et ^^Icurs valeurs én ircléduites

de liquation (Ajde k courbe proposée, elles se trouve^ ' ^ont.expriméesaumftycude l’abscisse x, et Jodiierput là' l^osition dû de'ütre de courbure qui répond à un point ' quelconque de cette ptourbe. * .1 - . •

Quand on fera yarier* pour passer d’un point à Fautre de I9 courbe position du centre de courbure

duuigera en conséquence. La série de ces positions for-* ' Tfîèra une courbe dont « et 8 COnsidérées'coüune variables '’ représentent les coordonnées,, et iont on.aura-évideïûwent l’équation en éliminant x entre lès deux cquàtiotLs (Q. En effet; ées expressions conviennent à l’uri qüdcbnque des centres de œiubure .déterminés ! par' k • .valeur attribuée à x-çèn faisant dispàfcaiire cette variable par 1 élimination . il ne reste nlils .m'im» l.:-

S qui en-esi, je neu. ueite courDe a été nommée d’après Huygens la dévelo^^éedç k courbe donnée, dont l’équation estj^=/'(x). -v. ' •’

187. Les équations (B) appartiennent évidemmentà la développée en y ciûi^déraçt^ a, 6 çt p comm^ variables et comme des feqctiôns' de^'x^ Ees différcntielles^Ue; çes équations* Jui appdrüeunent , Jonc .egalement. Ôr ,^én. différ^iant la ^emière çqûation Ï^Ven èupprînipnt;

les r>tlTo an mrawhn Aa îrm

es termes nuis én vertu d^ k àscôn^, çnia * . f

En difierentjaent de même k seconde équation’ (B), et supprimant lè^tc'nnes nuis en ♦ert’u de k troisième, -bn

a de plus

".}% rt»

yi- .

'•fB)

L,ÿk

(B), exprime que les t^geatés meni^es-aut jj^itits correspondants d’une courbe et de sa dérelopi^ .sept tonjdurs perpendiculaires l’une ^f^l’autre.;^ Ainsile rayon de courbure touche constamment la. d^rekq^^ée.

^ • llebiarquôns de plus que l’équation ^Pypçttt S^&rice .

da .f. ■ ^

Or -p^-çt sont resp^Uvement les cosipus de$

jj... . R - V f C'Y ' • ■ ' ' ' '

angles formes arec lés axe^ des «^et des y'par le rayon j> 'tangent^ à la .déreloppée.' Ponc lé>pt«tnièr<mcâibir<e‘db .qétjt^ dernière .éqaa^ofr, i^réseiUe kv fomimo des pro- ' jOcWaiis sûr la tangente det la développa desféléments et^, .c’esb^rdire laloiigiiettr'de Félcment diet l’érè de la développée dnnt dz et d? sont Tc^ee^Vemedl lespro^ je^oos^suF les a^es deS.x et de»y.^ En le .désignant par

df i Vest-b-dire é» posant da= \/dz\dt' —

Ainsi'nôus voyoni que tandis ÿi’oh.passe'én'rla cô^be . pi^opdsée du point m {fiÿ, SS) dont l’ajjscisse op^est ■ ap polnt’ildont labscisse qy «st ±-\-dx^ par cônsc^

. tjuttît du'jpoint’ ^ db la^ déveldppéê itp peiflf », Tare r* ' tinnprîe tbtm ces , deux poipti' esl égal lâTdiïïérence des doux rayons de cpùi'bùrt'ip.i et n*.^ ‘ •

- Ôn cehclut dë4»rësôîtati,précéd'ents’c^ la courbe mn. :serait déente d’oti' mouvementt continu par'4!ëxtéémité ; .d’un fil tpndu-qar'Éurait «té enrefoppd^sui là-’<m<ir , et que 'l’on 'développait progressiveiAeut. Q’est pffr ' cétte raison que la,coiurbé>»'^ ’nbiiunée la développée

O r tioüs aurons

.de lâ'!cotdrjbe inh.^ Béciproquement Id ç^ur^^./nn est'-

noibmée ]a deî^l^ppante de la courbe (iv.‘ W considéra» .tiojrd^ dévda^éee'est d’un grand usagé dsUë |>kiSiéiué. applications importantes.' - '

188'. Si ré^uation dé la épurbe proposée éteit dennée #Dsk^nne - " '

- , ï ‘ ^ ^ ~ ®* .. -- •, k'. if. -

dn teiAplacéralt alorsles'^uaiions (Cl,.eotdB lesquelles x doit être éliminée pour.cditenirl’éqaatijoa de la défreloppante , les expresskms derf^té qui ont-éîé doién^ itî 186. On éliminerait ensufteaî.etj-' entre cés devnièreS ‘ . Quations et l’^uatiéü.f’ Ç«/,jf^J=0 de là. courte ‘pr^ posée.. '

' ' ^xemplèi^tdpplic^ion des['résuUais fi^édenu, ^ l89.JSmt en piennér jUea ti^uàUtm dq l'el/ÿÿ» y .

jd y

' 04aura donc ici '

d*p‘*‘ 2 '‘'d’p^'Vd*p V ZJf V '

‘T— î=s— ,, vTT*=s.O» -T^ssi^jetensulwlitaantdansreii dx* a* dxdjr dy ^

pression de ’p du n 183, il viendra ^ r ,

par l’ëxpressinik’du rayondenourbune qui convientà oet#* courbe., ' i •/. . ; ' . i” ' ,

Ën substituant màintenebt les expréssicms précé* dentes..dajCLs les calques de «et ^ db tnteae numéro-, on trouve ' ■

■ Dwj'î

||juu.ea tira|itle9 valeurs de x et jr, et les mettaBÎ '^ilS^ réqiutioH de la courbe, on a . ; •„ '■'i ' . M,'. /.■.• • ' ^>s.

poitr l^^ation de la dpyelpppée de l’eUijlsè. Çette li^e esfc.£armée' de; ({uàtrie |)ar£ies ég^aW disposées sylnétri- ' qU 6 ment.,par rapport 'aux dlâmi^reà reclanguL'û'res de ‘ l’f llipse.' tes rajrons de eoorbare' Mf» -et N« appartéoant

aux sommets sont représentes respectivement par et -r-

La développée toufi^e les àxes aux points (>et y. ., L’équation de Vhj^^eiitola, «e déduit de celle dé l’ellrpie -> en cliangeantle sigqe'de b*. ï. expression du iayén dé eourburp demeuré la liùmé, malsTéquatiob de;lâ devé- ' loppée devient . , ■ / ‘ v ' ' ■

• ■•■'.••V. .U. Va'+w , V«W ; -

,< rX'--.-'-' . . ,T ■ ' • '■ ‘

. ^ Cette ligné est.formée, comme la précédent , dç quat)[e

paüties é^lesdisposées fjmétriqüenien^'^r rapporta dx

diamètres recftâi^tdaires^ dé l’byperbolc; Lé rajfon de

courbisre qui répond au/Sômmeli de la courlie a pour

valeu^2 . La courbe touche l!axe des ac au point fi . '

'% ftiik).. L’équatioudelaporo^éie x<.

doline;-V- »*’ — rcr» -7^=5 él edd ' substituant

- X • dx l/gj, df J '(Six)i

dàns l'«*J>r^on 3é p du ù* 1^, il rient • ’, ‘ ' '

• Vp ■ , .

^nemee valèûr^rétant substituées dans }cs expressions 3ê a et Si^u'in^meouniéro donnent ’

> ’ • tâx)*

- ^yp

^t en âiniiaantjr: entre ces detix erpressionsr.on.tcou^ve pourrequati<mdo^l»d,évèloppéede^ïiBaraJwe

Cette courbe est fdhnée d^ dêiïx partiel égales placées ' sjnxétriq^etaient.par rapport à Faxe de»a?. Le ttijdn dç ^oourbpre qui apjmr\ient ail'^odunet âje la pa^bole est

égol à’jp. Là développée touche Taxe des x au p<^t a'.

.‘191. , A Té^^d de là <^ycUAde , dont s’e^ ooeOpé dans lé n* lT8; ona trouvé S •

dj;

O.;- • '■i .j.’ùvj r,f!

A/ — —I, d’où , -

' .H en lùotiànt tes taltlàn dallé l'éxprcMÎQn ^ P;dù it*l

il viciât

d’où l’on conclut, eh ràjjprocliânt ce i'ésultat' ^ wçmules dohnéc)s h‘’ ÎYâ, que lé rayon de ço^bi^' ^t tou-..jours doublé de la normale. ’ , ' ,

En substituant égdement les viJeaif préc^entà <bii»

• les expressions de a et 6 du U® 180, <» aura ,

•• aj= X +2 1/ 2R^— y, ■■ *= —

Il est visible, soit par ces . expressions , iditpar oelle’da ràÿdiT de cotwrbure p , <£ue le centre dé cpiiAure du sommet » de la cycloïde {^g. 36) est em.,. en prenant la distance’ ov —an. Pour obtenir l’é^uâtion de îa dévelop- 'pée sous la formé la^ plus simple , nousjà rapporterons k deux nouvelles coordonnéés a et 6' parallèle^ aux prfemièrëst et tjui sontcomptéçïà partir. du pomtV, dans le ‘ sensï'Aefdamlésôisvd.'Notisecriroaàîipnc,''^'^ '

' ot^«R— V,. -s .

« . • ^ \ : ' • , ce jqui changera Jes équations précédentes en ■

. nrB-^*^ St p^iü,x^y , ' •

d’où rpn tire, ^ ayant égard' S rc^préssion-.^e of en y du

«'=R'^7r— arccrç..^^) — lf2V ^ .j

on enfip ensnettont pour jr sa valeur ' ... -

Ai^ la développée de, Ip cycloOié.est Uflo aqtçe cyclplde égale a la' première. ) . ' <?./ •

Cetrt proposition, résulté d’aiUeursinunédifrtement de la-yalepr obtenue .ci-dessus pour le raymi de courbure. <isÈr ïé'centrè'dé cotuihre devant se trouver pour l'e point ■ m dé-Ia''<^ck^é s'^ùr le prolongenient dç^ la ifomale , à

une*^èü(nce jY:^rrn, il s’ensi|it q^ue l’arc r|x' du cercle de rayo n R > dont le centré est d, est égal ii l’arc /ro di* cercle rajbq dont le centre est Mais l’arc

ifti est^^PÎ l’intérralle 0/* : donc l’arc Sjt est égalà l’intervidle *s. . j ,

'Remarcjuoçs de plus que le rayon de courbure est nul • au point 0 dç ja cycloïdeD/nw. Donc l’atc Oft de la dévçloppée bst> égal aurayonde courbure m{*. Ainsi la lougueur totale de la demi-cycloïde est 4R ; et en général si, l’on plaçait aa sonimet de la. courbe l'origine des coordonnais ic, et si l’ou comptait les axes du même

point, on aurait -y.; » ^ *-•»

Cette propriété tçmar^uàl^ de la cjciofde ; qurcoo-* siste à^se reproduire p^ le développement , bst liée'à.la ^ proposition ^ suivante plus généralë , et, due à J(e^ Bemouilli. Si, considérant une courbe quelconque dont les extrémités tducbeni deux cAtés d’iïn rectangle on en forme la développée, -puis U développée ds cefle-çi, et-, ainsi de. suit^ rin£bi, le9. cQurbestobtenuéS'de cettn iii^iéfe-'.approcberont. progressivement 'de se ct^oodre .avec une. demi^doïde. . >. . - •- •

' XIX- çocA|:çs ru.itK8'„KA^pùTÉBs^4J0x coeàbojtitÉxft ' - • foUsnva. . ■■■,-.[ .