Considérons, les deux points de la courbe aux

quels ap|Mrrtieâuentle* abseisses « et kii. La sécante passant par ces deux points, tend à se confondre & mesure que àx diminue , avec 'la tanj^nte menée à la courbe dans le point dont l’abscisse est x. Ôr, les trois coordopnée» du premier point étant x , jr,^.z , et celles ^ second x+ix a^ el I^Z étant déterminé

' par les équations précédentes, les cosinus des angles formés par la sécante avec les axes des x , des et des z sont - exprimés respectivement par • . , ^ ,

Ax iz .

l/nx’+AyVaa*

I^ax’+ax'Va»* ■, ou bien

Mais à mesure que ax approche de devenir égale à z«m,

■ ' A^ A Z ' dy . 4*->

les rapports ^ approchent des limites ^ , —,

c'est-à-dire des coefficients différentiels'^ des fonctions ='F(x) qui représeûWnt les orâoAuées des prtjèctions de là cOürbe sur les plans des xy et des xr J Donc , appelant a , 9 , yles angles formés parla tangente de la coutbe avec lës'aiéi’des x ; des jr et des e • qn a

- . . • A dx

cos. a

Vî

cos. 6 =

• .rri . • fo'- '.i

cos. y SS

r ■''-ViV ;i fliol) } ù’-' ’ir t*

lormoies ou 1 0X1 substituera pou^, ^ et leurs valeurs déduètes ^ >’*>=*

22J»^es eipressions ■précédentes d^neUt immédiatel^nt les équation^ <ie la t^Jli^en^V^cilént'en gêipra^

les equatioùs d‘nrie d/oiJ;é'qut!lcôiiqtrè‘^aèSàilf’llar*lfe

point dé ïa coUrïie dont' îé^’ coordonnées sont

(îîette droitè touchcrit Iji- C(àn¥&'e , sî rdia k ^ ifâprès Cte '

qd^ôn d ^ tr ‘ V>

cLy cos. 7 a a

dai'

•cos. 6 dy cos. 7

.' cos. a •: ■ dy*'’

cos.ec ■ \ • •

Les équations de la tangente sônt dune '

vi;. : >», lî'ir.tni-'Vl*:'. • '• i ritfe

♦'( ' •' * *■ « i ^ **“ î'.» J siO’f '**-ll 32 u**vf: 10 r\'>

,et, comme il était aisé de le pfévoir, les proiecliôns de fa

t^i^ente sont tangentes aux projections de la cquroe.

22îl>, (j)n en déduit égaiomenit l’équation du plan ÇCWr

.mal, .Soit en général .

■M! ..•* - 'i- ^^',ttf,[x-^x')-^g’{y-^yy-.

Jti* ; )q

l’équation d’un plan passimt par le’ point dé là^iîotit-lHj dont les coordonnées sont x', y'‘, i' . Ôu’voit parlé n° 21/» , quece plan seca perpendknliiice'à la tangente dé )aconrl^e,«Vona ^ ^ .

' • ' dy . dy ■ .

pla» **■ ;l>* '

* 226. Enfin r.dé^gôjm P^ / ..

'y^=m{x-<c’), ^ Z— a'=n(Xj-J/).

le, éqbations d’uçe ligne, quelconque |«ssant également par le w^int de k courbe . doutées cpordonneea sont x r z>, cette ligne' sera cnmurise dans le plan.no^ . e Mr conséquent perpendicSdre à la couil», « ks conatante* m et n satisfont h l’équation . • 1 -

" rf/ rf/.. " . ..1

' 227. Pour trouverVeipressiondeladifiérentienedelV

. d'une courbe,, ^ient M et K (/%• M ) les ppiota dont le.

coordonnées sont respectivement x,jr.^a et x+ax.y+^j.

‘ • i+az. La longueur de k c*»rde MN sera Soit méfié par le point S^a tang^te a k • • ayafit abaissé sur cette tangente k pe^peudiculm^ N . /rojeions l’arç dék ipurbe MN sur le ^ ^

Liant 9 l’angle MNT compris entre la cordé et la t^

genle , on voH que cette, pr^edion T

^ande que MN , et^ plus petite que MP +NT, c est-a-

'dire ,p^s petite que . , ,

■ ,..■-!■>■■■■ V ûx*+a/+ az^ (nos. <f + ste* î) '

Donc . appelani as la projection de î’arc MN dont il s a>

.'git, ona . ____________

la q[uantité^*i étant <i-p ^ -p^etc. Or, «i.l’on auppose

que ^x t«ndfe it derenir é^le'à *éro,-Paf<!|^de Iq taourbe tendra à se fcünfondre avec sa projécliollf et l’anglç t tendra à devenir nul. On peut "donc regarder lâ limite -dif*

rapport — comme ne différant paa^e la limite du rap-

port de l’arc delà courbe à ax; et, en dési^naiif cfette det-

V ■ ... ... ji-

as» , , * . •

nière limite pnr écrire , , . . - •> , . ■

— aa^ —

On donnera le signe + ou le signe'— au radical , suivant que l’arc f augmentêili ou diminuera qnand ou fera croître l’abscisse X.

228. On peitt d’aillèurs 1^^ ici uu^ remarque ana- ' logue à celle du n^, 189.. Les valeurs des cosinus des sûBt. gles a, e., y fonnés parla tangente à ja courbé avec les axes des X , des jr et des z ,^s*exprimeront par • • ^

- ' co..a = ^,v'- co,.«.= ÿ. V cJ:, = ÿ. . • •

On donnera &li diiTérentieIled!r dan» ces expressions le'< signe -)-'*«u le srgne — •, suivait que les angles, a, , f seront comptés à partir dg l'une oq de l’autroydes portions, dn la tangente, qui sont' séparées, par le point. dè coutaét, r' .

' 229. t<orsqu’on sqpposéu comme' on l’a> fait n* 222 ,

, une courbe donnée par'ses deux projections sur les plans ■ , ’ des et dès'xr , on regarde cette courbe comme étan^ l’intersection de deux surfacés cylindriques ayant ces -<

*. Digitiz-=- i.y C'oogir

projections tout bases et «iont les arêtes sont respective-^ ment'^&pSnaicula/rcs Vdx "plans, ^aîs ime iSàrbê^ p«Wj être «bnsid^rée. d’une maniée plu» gépérale»p cèmine/tant l’intersoctioa^e dçux surface» qaelcooquês. rBfuésdbtéès porles équations - l'O i,j, > .f. ». , *■•

et^z^sont al^ors dés fonctions implicites,

' de l’abscisse x. ïin appliquant donc les-nolions présea-'

tées dans les n“* 44 et 45, on difl’érentijera-ces deux éqnss*'

. * . 1 *• ' ^ tions , ce qui tienne ,

dx dy dx dz dx ’ dx dy dr^

dz dx

'ïO

et ejo tirait jes valeurs de — , , . » • .

».»;/ »• n »**.i •■’/. *■•••. ax. t . . • L

^ dr'^ ^ df ^J dF ^

. 'dy v’dx<dt‘ dx,dhti^d%' y-^ dy'l

dxS~': dF- df -' dj' dF^:t dx . • dj^'^ > df dFy:\d

, ,i ' dy d». ' dy d% ^y - -,4^ jiyr-^ \ dx dy- l’s

CeS valeurs doivent être substituées, dans les formules des numéros pféçcdçnts.' Oq p(iqj;rait,^r(;^i|p'eq, élimi- ' ner^ e t i du moyen des é^üation»-proposéesy’(x, j', X)=0,

•Â» 9 imvif r>0

-‘®30.'’Rertiarq«ob«,d*ailléwru^ufe, d'âprèsd»»* 218V^il^wdésigneipar x'\y\' z''teléOdrdou#fitte8:dîufc point dè la ' ligne. pro^see , leé-éqnpjHons des denx 'plané nteftéi pai<' ceiptprü. tangenlidlemcnt’BUX ^etpUL sufkces .dDu(j}«s ,• dont cette ligne proposée' est l’intersectifiov auront peotivemept pour «quations . '■ < i ^ . • ■•'’r'i- ‘-j ’.d.

ffi. . i, • 'aI/ ii< ; ) ;• »

. Digitiied by Googît

ixî Lf. . ^f.

. .xî ^ \r~^) + ^ ■= « ’^ ^*'N

I »'^!).>>/i l- itl<^ . ^ <irnj -ÿ, 4 ’l'J*^:' 1 .; 4 ;. lui.t'llK’i^àl

^ ^ (x— +*»*(r— y) +'^ c»-^) :çidi cmfmi

Ainsi ^8 «^(utions ^pâi'tieqpeàt à ht tangeiite de Ja CDurbç et en dé{.ermineiit la direcliotf. En général, on a lea équations <le 4 a 4 aBgiEÙte‘en rem^çant dans les équations dillérentielles de la courbe dx', dj , dz par x — x', jr—y, z—z'. f.iiii'; .

‘Il

PL^h fiflj'oiu dfi ^^,preridf^ pourkvre et de V , ,. - . . :, . $econde courburt^ / ’

' 331 .‘ XJés hotiôHs eapos^es dans Farticle XVI sur le contact des côùr^s planes , s’ttppliqlrtànt généralement (comme An a pu le voir dans l’article précédent) au conitiet des ligne» ntdea'snrfic^'!' . __ . Il ‘ J- - ■„ ^ Si Von considère une première ligne représentée par

le» éqqâtions ' • ' ' i *' ‘ • ■’"•

'• ’■ ^==AiO. ’■ ' zkT(x) •;r.. i*. ,f«

p^.uq^ seJWnÇP.' repr-esientec par 1 ^ équations^

lOi*

1 ’> .n-rui-^’ 7 0 ji<vr> ' k T ■i

ob verca qu’en supposant qOe ces lignes se rencontrent au point doiit’lès coordbnnééiè’sont 2 c,y, ï.'ofci

U point c

• • ■■ " ■V* 7 l 'ij.v» .«n‘ • ■ 1 . I l ' -■'livv

dx‘

,:pDur les ord<wnies 4 u pow( dé, la première çourbe «or-

raependonie à VaJUsqiisee et. .-

y+->-7— - V . ■ 5-fetc., *+—^'A4- ^

dx AT* *5 . d-S

pour ordoimées du poiid dç la.^ecpude courbe cor- ^ respondant à la méine abaisse. Lès difierences dè ces

ordonnées ■ seront^ doue re^peol

. , . dx t

i <ii I

et l’on aura

do!

éÇ »(x)

v-zr

dx'

fcT.Fix)

V dJd

' djd

• +eto.

Vd'+h'

pour l’expression dè là distante des pbints'deTtX'Ooai'bés dont il s’agit. Or, on ver^a par les mêmes raisonnements employés dons l’article XVI , gu e ^les constantes arbitraires qui entrent dans les équations y = 4 >(a:) z=î 1 -{x) étant déterminées de insoiére à satisfaire aul^onc^ lions d.<i{x) d./{x) dMx) d.T[x) J T.

dx - dx dx ^ ^ ^ „ ,,

aura avec la première un contact du jpremiep ordre, et, qu’aucune autre courbe ne pouraait en approcher darantage, à moins d’èlre ksspjettie aux mêmes conditions. On TUrà également que sf l’on satisfait de plus aux éqtià-

' tiens

également que

if.v{x) d‘J^x) • d‘.4>'x^ (f.F(x)

plus aux éqüà , lesdeux courbes

d.x' ~~ dj^. ’ dx" • <ir*

‘ ancont upcontact.du'iecond ordre,' et qu’aucune autre courbe né pourrait approcher davantage delà première .à moins d’ébre assujettie aux inéqieû conditions.' Et ainsi de suite. ' . ‘ , *

232. Le contact ''d'unè courbe quelcon(^e avèc un n neut être considéré de la même maniéré. Les équa-.

le la couriie proposée étant tqujoui*s , •

•fjr ^ . w

liV mp mu. mn i .n p ;*

soit CD général .

e — *'=îr» (x — n •■■

l’équation d’un plan quelconque passant par le point de la courbe dont les coordonnées sont x'y z'. Si l’abscisse jc' devient x'+A, on aura pour le point correspondant de la courbe ^

, dy^ æy h''' dd ^ æd h* "

et pour le point du plan qui répond aux abscisses x+h et

Prenant maintenant la difiérence des valeurs de z qui appartiennent an plan et' à là courbe, on trouve pour l’expression de la.difiérepce • . •

/d'd dy\ . (d‘d æyxh'

■ ” Si l’ôn veut donc 'en premier lieu que le plan soit tanguent à la courbe , il faudra que les constantes m, n satis^ fassent à l’équation . •• , *

' ' dd dÿ

- • ' djd ^ dy~^.' w . ..

v'et il est facile de reconnaître que cette équation exprimé que le plan doit passer par la tangente à la courbe^ en , se rappelant ' ce qui à été dit n*’ 21 3, et aÿant égard» ^ aux équations de la bbgénte données u^224- '

Cette équation ne sulBt pas pour déterminer m et n/èt

eSectirement'il existe une infinité de pkeM psWRnt «per la tangente qui tous touchent la oouih«> Mais si l'on pose encore réquation - , . .

•v-i' . ■■ ;• i-vfv.i

F t • • . '.» i ’.rt J >.

on établira entre la courbe et le plan le cQnta^ le pUls

intime qu’il soit possible,- aucuu autre pian ne pouvant passer entrecellii~çi etla£0urbe,..’On th-e d&cette équation , réunie a la précédente , ^