TO
ce qui donne pour l’équation du plan nommé plan ottâtUuet»', paree qu’il a uin côniacC du second ordvoatvéic
la oourho,*' v^>■, v'" * i • i
d'if
dx"
dlr"
dr’*
. ■ t aÎ ■ rr- *r- >- ■
233. Dans ce cfui précède x est prise pour lift variable jndép?ndAute,j^ et ^.sçwt regfi^ç^ <^;gpgie’{^qs.(qqcljpns
jde^x. Si IJoù veulTega^def ^^j(:,,^,^ooinu»e4v?f99^^
d'une autre variable indépendante <ji;i,el<;0^qp9 .jpq obitiendraitl’équation du plan osctfîa leur qui convient à ce
cas en remplaçant et par les expres-
<^nnéés,n° 71>pp,ùr 1^ ch«ngwppt,<^ Iq^ariable in,,- . dépend4q4«- Maj^ çui.y paryifindrA p^8,.»inij4ein.enten ;tet>^rquant .que l’-éqqat,;^ grâérajjç d’un ^plan paâsapt par le point dqkAl)l«be j^our won^o^W^V . Jt'a P'
etdWM four 8es4^i9,éqitatioQS dificrentiellcs <tuj>re> ’
' iM«r..0t^.4jy|:«pq^dj:kciir«C m ûdémt égfücmenflKîcC'
JCfJ^etZ, , ji, ’ J Vr. »},, V»
A<ir +B<^ +ds =0 f ‘
• Ad*x+B<fyH^zâ30.
0«, le «pI^D sera le plan osculateucdemaacléei ceadçnx équaUoD^ ' difiérentieUes .eoDt'Satisfaitea^ par ies/eidemv . dx', dy, et , d'.z^ a^yàTieiaa^^ à la-qiMirliei!
Détenoinapt donc le» oonstantes A et B 'par ksAeas' ' équations..» • r - * .» ■ m. ■». .• f»* », .-i
V». » -iv ^ Ad^yB4^r'+dz'=0 V .. y.. .
et substituant leurs valeurs dans l’équation géilérale préqéç^.epte,, il viendra ^ .. >• i>t ;•;
(dy.æi’r-d7!d:y){a>^^)f\d^æjif^djfæz')\y-^)+ ■" r «ir'dy ( a-W.)=*0
'Si l’dû prenftit «pour la Variafelé indépe'ndantè ', ôn day^ait ^pj^peçr. dans ^équation, ^x'^Q,;,oix te^ tfpuverai^aiasi, CçH^jqpi ditoupç dans le nuBjerq
prée^enJi. j. ^ -lir-, ^ i/i) *.'♦ ^.lOb
• 834 -^Coi^idct(NM.n)aiutepajEd 4a conAàet dp 1& oonribc.' isjdouble.cQui^re, propo^ #v«c uue^nrfitée aphériifa*»
rtl'i'i't r.vi'‘‘ve-
dont l’é<|fuatk>n; généEaie est
.-.VS a:-,. , f'v
a i* 6^ y àéMgpant les cdordonnMà du centré; et p îjS rayon.' Si tette surface passe par lé pointue ïa courbe^ • dont X ^5^ /z représentent les cooraqünees, on apra^ ^1
De plus si elle touche la courbe l’équation diliérentielle
du ^j^ier ordre déduit de celle-ci en faisant varier
seulement x', r', z'. qui çst i < > ■ - ?
(ot— x') — j^)<£z'aO,
denrh être satisfaite par les yaleurs de dx', dy, dz' ap^'' parteaant aux points de la courbe. Ainsi toute surface sphérique xlétenninée de manière que*, 6, y et j> satis^' > fiassent à ceS deux équations touchera la courbe pro|So«' sée. On voit d'ailleurs par le p* S25 que la seconde de' ces équations indique que le t'entre de la surface sphérique doit se trouver sur le" plan normal à la courbé
propose. • i .V t •
335. (§i la surface sphérique a un contact du iecond' ordre avec via courbe proposée, il faudra que l’équation différentielle du second ordre déduite de la' précédente ,
soit encore satisfaite par les yaïeursdesdiflérêntiélies de .. tirées des équations de la courbe.' Supposant
donc ces différentielles déterminées de celte manière tonte Surface^ sphérique pour laquelle t</ 6,' */et'p satis- ^ finqut aux équation» pr^édente» aura un eootact.du.
■ second ordre avec la courbe proposée.' 11' ést évident , d’ailleurs , que la dernière équation qui vient d’étre oh- . terme étant déduite par la diuérentiatioD de l’équaticm . dûpla^nonûal à la cdiirl^ et passant par le point dont les coordonnées sont ÿ', z', cette inéme équ^tîcm aç- . i^rtienf au plah nonUal à là courbe payant par le point dont les coordonnées sont •^dx'',y' -\*dy, z'-+-dz'.
Dügilized by
On en conclut que le centre de la irphère osculatrice doit être situé sur' la ligne droite , qui est l’intersection des ^ux plans normaux appartenant à deux points de la courbe, dont la diëtance est supposée plus petite que ' toute grandeur donnée. i . , - '
236. Si , par le centre d’une sphèrostangente à une courbe proposée au point m-, et par la tangente menée à la courbe, au même point, on fait passer un plan, ce plan coupera évidemment la sphère suivant un grand cerçle qui sera également tangent Ji, la courbe. 'Ainsi une courbe quelconque a une infinité de cercles tangents dont les centres sont tous placés , sur le plan normal , •i'çette courbe.
Parmi toutes les sphères tangentes à la courbe proposée , nous distinguons les sphères osculatrices , dont les centres sont placés sur l’intersection commune de deux plans normaux consécutifs $ mais , de plus , parmi les sphères osculatrices, nous distinguerons celle de ces sphères dont le rayon est le plus petit de tous , et dont le centre est situé dans le plan oscülateur mené au point m de la courbe propçsée. Le grand cercle suivant lequel cette sphère est coupée par le plan osculaleur est nonseulement tangent à la courbe proposée dans le’pointm, mais de plus il a en ce point un contact du second 'ordre avec cette courbe, puisqu’il est l’intersection commune de deux surfaces qui ont elles-mêitaes avec la courbe un contact du second ordre. Par conséquent ce cercle est le cçi'cle oscillateur de la Courbe proposée, et il en mesure la courbure. On obtiendra éviderimept le cercle osculateur dont il s’agit si aux conditions établies ci-dessus pour la détermination des quantités r, ^ > y, * > ‘
<m aj<mté cdile <fue‘fé<jualw^ «hià» Sîfâ' isolt sàfl^lte qliasod^ètt sùp^ear'±it«( x~^> ^=7- Ainsi? lèÿcoftï^- AoUnëes da cratre et le rayon du ceiyi«- ôse(ll»teij^s^- ‘M^t^onnésparks'qnptfe'équatiom' ; •u-«,
ri ,. «: . •. ïf.-^a>>+Y<6-^)+Z(7-,)-0. '
' ■ ^fèu's supprimons les accenfà'pour pli» de simplicité-,
. nous rerapfe^rons’</x sa Taleiir ’et nous \posons Jiour abréger *' -. ■■•• ' .
\=dyte7r~dzdy, Y =dzcTx--dxd’:f, Z^^d^tty^^^x.
^ en déduit pari’éliBiiiiatitm - -, i -'n-.', -a -."t
î*-fY‘+2* ■ ’ -
'■■• ■';'•■! ■'''" ''^'^"--^dfiZd:t-\az)' • ^
'\ '^d$\\dyi^Yd^' -- .
"'ll^y'^'dz-Zdj^*^{Zdx^ I"'
' — il;>0
•< , .Remarquons mainteuant. que * ^ , i . > ‘ . ;|ÿ. .,
•^d 9 —!'Zd(y^(d'S/dx~dxd‘z)dtTr~{dxiffy-^^^x)djy ■ ■ ' v,v V, r-^^(dx'yify'-^d)(p,x~'dx{dxdx^dydy-^dui!i^
■' ■'t ^ds^iPx — dxdt ct‘s=:ds'.d(^^^-, ' •
0e,niéme , , , .
ifi.. -r-*i ' 1 • ,> t > '■ ■••■< ;’■•
Ul .-n-- Vont*.
•' i'*' r fc:.{» Ur '<"'0 •
X4'-Ydx=ddd'^^dzdsd's=ds3.d(^y,
et par eooaéqaeat ' - (ïdz—ZdyY+[Zdx — X<fz)*+(Xrfy — YdxYz=ds* [(<i*x)’+ .
De pluson.trouveég| 2 ilement‘ " - ' v
■' X‘+Y*+Z*=^fc*[Vx)*+{^0^)M-(^i'8)*-(rf'^r] '■ ■'
iinsi, Ica.ejcpressions prétiédentes peurept s’écrira j.
* «»•*.; .. . . •« ' . • .« * a 'f / yt ’* »
(<fx)’-Kd:r)’+(«^’z)— (^»)*'
y {d xf^id^yf^[d‘ z/—
Ces expressions TCotivi^droDt au cas particulier où l’on
prendrait l’arc jpour la variable indépendante, c’est-;àdire ds pour diflérentiellc constanlë, en faisant d^s = 0, èt
par conséquent remplaçant > -4^ P®*
tCx'tP^d'z . ^ ' •• ■•'i:
d*’ cW* ds • ■< y -
237- On peut d’ailleürs parvenir directement à ees expressions çn étendant à une courbe' quelconqne 1 m notions qiù Ont été présentées dans le nM 83, pour le cas d'une courbe tracée dans un plan. Gonsidéi‘ant troiii *' points consécutifs dekoeuibe, say<ùr, lepoint/(/^. Wk),
projectioBs tout bases et dont les arêtes sont respective-^ méiti ^érp?nai'culafres .atix deux plans. IVIais une cSà^è petMtj étw «bnsidêrée ' 4’une puinière plu# généraiei^ caiBiiM^' Alantd’iateESoctiqa^^ deux surface# qaelco'nipiês. rBjtfésentpe# p«r:les équations l'C. ii, -v - «i
ijin uh . nu - si
I^S:ordp^n|^s^,etji:^sont alors dés fonctions implicites, de l’abscissc x. ïln appliquant donc les-nolious présea-' tées dans les n®‘ 44 et 45, on diflércntisxa-ees deux éqn»* lions , ce qui donne , /
irr^’ ^ 0
dx dy {Le dz dæ ' dy dx^' dz dx
h<- 1 et en
i.> lfsJii»*4V‘»
tirant les valeurs de
l.igi
W ■■ \Uit-.t-
yff'l
' .^dfdF
dP'df
,fdy
'■ dxidz)'
dXy
. ■ dF df
■ dfdP’*
dx' di’-
i. •*! )fi
ni )
df £f'
' dy d»’- > djr d%.. ...v.l \y--,4^ dgr-ii dx dy. K
CeS valeurs doivent être substituées, dans lés formules des nunxérqs pffiçcdents.’ Oïl pqqrr.\it,/enspi,^^'eq, élimi- ' nér^ etx'âu moyen des équations-proposéesyi^x, .*)*0,
K4r,y»-J>).''W^0; v.-rjtf, - As /■. f) S -i (. ■.•< y, rr\. j nO
*430. ‘Rerfiarquoés d’âill«Hréqué, d’aj^sl»»* 248v#i' îîf de» «ôordonttites’dîuÉ point jdè ki > ligné. prO]^see I leê-équ(t.tionsdffl deàx plané ^ettéi pail' tangentidHemcnt'BUX deiptx^ surfaces .dour^Mts,' doo( c«ite ligne proposéc<est rintersectiÔQt^tnurwtrr^ peotiv^netf(>t;pour «quatinos ^ <
■Jj ii< ■. r. a
. Qigitized by God^e
/ t.j •; ,\*j V. 4 V ..*. ;• -U.. Ml : ..;
y P jp jp
(x— 4-"j^‘(y— y) 4-'^(»~«')=«^rtr!;:;7.!
^port
Ainsi ^uaiioBs 3^^ortieivp£Qt à là taio^èiitâ dç Ja courbç et en déterminent la direetiotf. En général, on a lea é(}uu lions do-la4aageute en reiu^çant dans les é<{i|ftions diilérentielles de la courbe clx', dj' , dz par 'x — x',
jr-y. ■*—•*'• . 0- .
‘it ■■•i. ; • ♦
Plan i»cuUttçitr^ Hayoïu dfi ^la.premii:^ courbure et de (0 ■< 4- :. v;.i ^.1 fronde courbure. /
'BSt- Xiés hotibÜs «posées dans Fartide XVI sur le contact des côùrlÆs planes , s’appliquent généralement (cbmmè'dn a pu lé voir dans l’article précédent) au con- (ict <ies ligne» nt des'snrfac^ü . " V- ' '
Sr l’on considère une première li^e repC^entéé par
1^ équations ' • ‘ ’ ' ‘ *'
" • ■ ' ' • ' yszjf\x), \ ' es^P(X)y'--';
(Wt». uqç atjjqnçç. M^ne repr^ntec^ par equa^tious^
•O T I4v .* 7lJ J t . . ^ r ^ ^
ob veri^a qu en supposant qde ces ligdes se rencontrent au poirit dont'lès coordonnées sont x'y, 'i, Qti auW'^/t*
dx‘ 2
.pour les ordopnies du poin( de la première çourbe «orraspondante àl’aJbedAse et .1 j
'd.®(x) f • ..jdAlx)," pP.<»<x) V *. <
pour Iqi ordonnées^ du pôiid de la.ÿecpude courbe correspondant à la méine abaisse. Lcs diflTérencea de ces ordonnées' seroat^dôac re^peot^æ^nt , '
dx
dx
lî'. f ,>
et Ton aura
-'i , .îi#. ’
V dx'
dx'
V dt'
dx*
+eta.
T ■ l/^+IV
pour l’expression de la distancie des pbints'detix'coai'bés dont il s’agit. Or, on ver/a par les ménses raisonnements employés dans l’article XVI, gue ^les constantes arbitraires qui entrent , dans les équations y =<i)(a:) étant déterminées de içanière à satisfaire auX/:onc|itions
d.ï(x) d-f{x) dMx) dJP{ x) ^3 T.'
= la- seconde courbe
aura avec la première un contact du jpremier ordre, et, ({u’aucune {(utre cpurbe ne poursait en approcher’ davantage, à moins d’étre assujettie aux mêmes conditicms. On vérrâ également que sf l’on satisfait de plus aux éqfua-
tions
également q
rf* .^(jrl d*j/7x) * tt.^'x)
satisfait de plus aux éqtialesdeux courbes
dx' </x^ ’ dx’ ■ djd ‘ «nront un contact. 4u'lecond prdre,' et qu’aucune autre courbe né pourrait approcher davantage delà première >k moins d’étre assujettie aux inétues conditions. Et i^insi de suite. ' , ’ , . ' ,,
' 232. Le contact '^d'unte courbe quelconque avèc an
plan peut être considéré de la même maniée. Les équations de la courbe proposée étant tqujoui*s /
. ■ 'Éf ' ^
soit eo général
'=tm (jr— y)
l’équation d’un plan quelconque passant par le point de la courbe dont les coordonnées sont x'y z'. Si l’abscisse x' devient x'+h, on aura pour le point correspondant de la courbe .
J A* , . d'zf A*
et pour le point du plan qui répond aux abscisses x+h et
Prenant maintenant la difiérence des valeurs de z qui
appartiennent au plan et à la courbe , on trouve pour l’expression de la.difiérence
^ 'dy\. fd‘z' rfy\A-
Si l’ôn veut donc 'en premier lieu que le plan soit tangént h la courbe , il faudra que les constantes m , n sati^ fassent à l’équation . » •
• '■ dx' dx'~^' - * '- .tr
et il est facile de reconnaître que cette équation exprimé que le plan doit passer par la tangente à la courbe, en' se rappelant ce qui a été dit n* 213, et a^ant égard^ aux équations de la tangente données n® 224.
Cette équation ne sul&l pas pour déterminer m et ét
eQectivement'il Miâte une infinité de pl»us ipur
la tangente qui tous touchent In eouihe- Mais si l’on pose * encore l’équation
f ( ■ • • , . ,-j' ' •> .»'i ’,rt j 'TL >' •! J k
on établira entre la courbe et le plan le cQntact,lç plus intime 'qu’il soit possible,- aucun autre plan ne pouvant passer ^trecelAî^ci etla courbe..'On tire Recette seoqnde équation , réunie a la précédente ,
' ■ dz' d^''r dy^d^'
«« - W.*!-* » Tci;
ce qui donne pour l’équation du plan nommé j>lan oscvdatevr, parce qu’il a ism contact du second ordroaivac laoQurbe,’*' '•* *'* ’ v" - i
doT
dr’*^
. 'i? ■ * • V *. fî' >- ■ 0*
233. Dans ce qui précède x est prise pour b» variable jndépefldnnte,j^ e± ?,sçwt regfix^éç^ jde^x. Si l’on veut'regajrdpf
d’une autre variable indépendante cj.y,elf;9^qpé .jpq tiendraitl’équation du plan oscillateur qui convient à ce
c, p,r le,
(^nées.n” 74.pp.ur Ip d^ngepa^t ^ l^',vari,^le ug^,\ <^pÇ0dgnte. MjU|s’,94j par^jendr^ plu»,. simplement en :l-.ein^rquaoi ,que ^’«qqati| 9 n |^érajbç d’un vplun payant par le point dqja «jpxbe iiyantf^ur ç^njofluép^ if' .
ÿoar 8es4€^.ét{uaÜ0itf difiàraitiellcsdupre4 m faièaat égakmen^pri
X, jr eX. Z , , ' ■ '
iec>
Kda: +Btfy’ +dz =0
Ad’x+Kefy'-Ûi‘z±zO: ' ~ '
Ot, le .pI^A sera le plan ôsculaletir demandé ei ces . denx équtiUone>diiIérentieUes.eoDt satisfaites^par .
dx\ dy, et d'x, d'y', dV appartenant à la^qonrbe^ Déteminaot donc les- «oestantcs A et fi 'pnr- ksdetm^ ' équations T . • r • c.*»
. •». , .. ... ^ Adx[,rfB4^'+ds'=0 .. .
et substituant leurs valeurs dans l'équation ^éùéralepréqé, 4énte., il vii^dra ^ ^ ,. >• ,>î .
(djf^a'—ddæy) {j>^x^)+'{d^did—djfifz'Ÿ(y~^y)+/'^ r'tv^dx'dy-^tfy^d'jd) (i-^>)=x0 - '<f'
-Si 1’^ prenait a: pour Ta Variable indépéndantè on dirait ^pj^p6<?r dans, ^ç.^tc ^équation, ^y—0,;,qo i:e> tfouvecaiV^i^^i f dtonéç dans le uunaérq .
prei^en^. t',”' ■ «f. - J;;;, ^af-b '
. . 834 . , Gn^idétcms, maintenant le. cônUet dq la oooriie.' ihidQidde.CQuy^re propo^ .ÿvee unnéarfiiée spkériipi»' doDntTétfuationigéoéEale estK.,>> . i.l i » T viv,»,».
•■. './Y ■•(ff.'« <3*i;>î. .
a, 6, 7 désignant les coordonnées du centre, et a Jq rayon, oï fcétte surlace passe par le point de la courbe;
■ * ;( *. , . t. , i r -, TïiMu") - ,
• dont X .V ,'z représentent les cooraotnees , on aura f
V;ko r.i ' .
De plus si elle touche la courbe l’équation différentielle du ^H^ier ordre déduit de celle-ci eh faisant varier seulement x', z', qui çst \ * ‘ '
(a— x') rf:p'4-(6— ;[/)rfz'3»0 ,
de v ra être saiiafaite par les yaleurs de da/, dj’ , dz' ap^'’ parteàaht aux points de la courbe. Ainsi toute surface sphérique détenninée de manière que « , 6 , y et p satis^^ ' fassent à ceS deisx équations touchera la courbe propo*' sée. On voit d'ailleurs par le U* ,225 que la seconde de' ces équations indique que le b'entre de la surface sphérique doit se trouver sur le' plan normal à la courbé prqposéeu . • > • f •
235. ^i la surface sphérique a un contact du iecohd’ ordre avec- la courbe proposée, il faudra queTéquaticoi différentielle du second ordre déduite de la' précédente ,
soit .encore satisfaite par les yaïeurs des différentielles de , tirées des équations de la courbé! Supposant'
donc ces diHerentielles déterminées de celte manière , toute Surface, sphérique pour laquelle te / 6 */et ' p sàtisionqut aux équation» précédente» aura un noatact.du- •second ordro avec la courbé proposée.’ Il' ést -évidàat *’ d’ailleurs , que la dernière équation qui vient d’étre ob- . tenue étant déduite par la diuérentiatiou de l’équation - duplah.norn(al à la courbé , et passant par le point dont les coordonnées sont x', •y', z',cettemémeéquaf!oa^appartient au plan normal a la courbe passant par le point dont les coordohnéés sont x' + dx^',y -{^dy, z'yJz'.
Dii 1 . Unni^lf
On en conclut que le centre de la sphère osculatrice doit être situé sur» la ligne droite , qui est l’intersection des <^ux plans normaux appartenant, à deux points de la courbe, dont la distance est supposée plus petite que toute grandeur donnée. ,• .•
I 236. Si , par le centre d’une sphère.tangente à une courbe proposée au point m , et par la tangente menée à la courbe, au même poin^t , on fait passer un plan, ce plan coupera évidemment la sphère suivant un grand cerçle qui sera également tangent II, la courbe. ‘Ainsi une courbe quelconque a une inGnité de cercles tangents dont les centres sont tous placés , sur k plan ôormal , -à cette courbe. ^
Parmi toutes les sphères tangentes à la courbe proposée , nous distinguons les sphères osculatrices , dont les centres sont placés sur l’intersection commune de deux plans normaux consécutifs 5 mais , de plus , parmi les sphères osculatrices, nous distinguerons celle de ces sphères dont le rayon est le plus petit de tous , et dont le centre est situé dans le plan oscülateur mené au point m de la courbe proi^sée. Le grand cercle suivant lequel cette sphère est coupée par le phm osculateur est nonseulement tangent à la courbe proposée dans le-pointm, mais de plus il a en ce point un contact du second "ordre avec cette courbe , puisqu’il est l’intersection commune de deux surfaces qui ont elles-niéitaes avec la courbe un contact du second ordre. Par conséquent ce cercle estle cercle oscillateur de la courbe proposée , et il,
en mesure la courbure. On obtiendra évidemment le
cercle osculateur dont ils’atgit si aux conditions établies ci-dessus pour la détermination des quantités « , * , 7, f ,
P ^ Gii jgle
'«^ ajoute «elle <jàe 283 ' soit safiSlîifte
quwd' on süppbâe a: it»a , y Ainii^ les coot- M^tninées 4o cmttf et le rayon -du cerdo Oscülateià^s*'- ,!«Bt>aonné8parle«quptre’équatiôriS' ■:. •tr-*,
Ca-Ax)*+(e-j^)»+(7^‘=) w' ^
xwr+Z'
']■ ■ -Mx'iZda^-XdzY
** ' '' ' ^ ^)-t-Z ( 7 — *J;iïO. ■ *. •• • ^ '3'-
î?6us supprimons les accents pour plus de simplicité;
- ûousrémph^roOs’<fe’+<^’-t-^^^^^ ^4 'et
nous \posons •J)our abréger ■' '- ’’ ' ' • "
X^dytfx.—dzdy, Y=dzd‘j;—dxd‘z, Z:^dj:d‘y^e^^jç. On en' déduit- parl'élifianiaticm ' :/i •!.">
*• *• .-V;’»-.- ••..■•' ifi*(Ydii-3fV) ■■''■■■''
vTj -, .l!-.-> X*h- 5^+Z^'-''-' • ■• - ■• >• ' •»=>
*‘'f ■ ■ ■■ ds'ÇXdy^Yd^ •*;• • ’ /■
di \/ (Tfi/z— 2 ^)V(Zd!r-T-Xri!;]''+(k£ÿ *"
Remarquons maintint que ^ . . fÿ..,
.Yda^Zdy=^{d7i!iiPx~dxd‘z)dz'r~{dxiPy — ^r<f3e)dy • '
