On conclut d’ailleurs de ces équations
dzy
aüJ ’
expression remarquable de l’angle de contingence dans une courbe à double courbure.
On voit également que l’expression du rayon de courbure p peut être présentée sous la forme
’ ds
ce que l’on conclurait également des transformations qui ont été données au commencement do numéro 236. • .
Remarquons de plus que si nous représentons comme dans le n” 223 par a, 6 , y les angles formés par la tangente menée à la courbe au point dont les coordonnées sont x,j-, Z; si nous appelons u l’angle de contingence , et enGn si nous avons égard aux expressions de cos. a, cos. 6, cos. y, données n*228, l’expression précédente se transformera en
wr=|/(<f.COS.a)''Hd.C08.6)’4'{rf.C0S.y)’.
Cette formule peut d’ailleurs être obtenue directement en remarquant que
cos . w =cos . s (cos . a4^. cos. a)+ços . S(cos . S-h 2. cos . ë)+fx>s .'/{cos.y +^f.cos.y),
et que l’on a généralement cos. «sscos.’^m — sin.’^w, d’où 1— cos.w = 2 sin.* u. Dcmc.
(2sin.fM)*=2 — 2cos.a(cos.oe+rf.cos.a) — 2cos.6(cos.6+<f.cos.€) — 2cos.y(cos.y-H/.cos.y).
Or on peut mettre à la place du nombre 2 la quantité
cos .‘arKOS . *e+c«>s .*y+(cos . ct+d. COS. a)’>f{cos . cos . 6)*+(cos.y
-Hf-cos.y)* ;
Digilized by Goc^le
réduisant ensuite , et remarquant que l’angle m étant supposé inâniment petit(2sin. fw)’=w*, on retrouve la formule précédente. Cette formule exprime généralement l’angle infiniment petit compris entre les deux positions infiniment voisines d’une ligne dont les angles avec les axes sont exprimés par a , 6 , y.
239. Les résultats précédents se rapportent à la première courbure de la courbe proposée , qui a lieu dans le sens du plan osculateur. Remarquons, maintenant, que deux plans osculateurs consécutifs comprennent entre eux un angle infiniment petit , qui donne la mesure de la seconde courbure de cette courbe. Soit n cet angle, et rappelons-nous que l’équation du plan oscuLiteur, telle qu’elle est écrite dans le n” 236 , étant
les cosinus des angles formés par la normale à ce plan avec les axes des x, des^ et des a sont représentés. respectivement, d’aprèsle n° 216, par
I/X’+Y*+Z*’ KX’+Y'+Z’ ’
L’angle a de deux plans osculateurs consécutifs étant égal à l’angle des deux normales à ces plans , nous aurons donc, d après ce qu’on a vu dans.le numéro précédent ,
. — mnv
ou en développant , et ayant égard aux réductions qui s’opèrent ,
|/(X*+Y*+Z*) (d'^'-^dY'-^rdZ') — (XdX+YrfY+Z^^Z)*
ou bien encore
^/(X^^Y— YtiX)’+(ZiiX— XrfZ/+(YdZ— ZdY)*
Mais on trouve facilement
d^=dyd}z—dzd}y, dï=dzd?x — dxdH, dlà=dxd?y — dyd^x\ puis
XdY— Y<fX Zæ/L—TUdZ XdZ—'LdX
dz • ^
dz{d^x£y — d^yd^ x)-\-dy[dzd^x — (txtPz) -\-dx{dyd'z — ^ztPÿ) ;
et par conséquent
dz(d^xd^y — dyd}x)-\-dy{cFz(Px — dx(Pz)-\-dx[d^yd?z — dzd?y (dxd^y — dydx)'-\-{dzd'x—dxd‘z)'-\-(dyd^z — dzdyf
Si l’çn désigne par P le rapport de l’élément ds de l’arc de la courbe à l’angle n compris entre les deux plans oscillateurs qui répondent aux points placés aux extrémités de cet élément , rapport que l’on nomme quelquefois le rayon de la seconde courbure , ou si l’on pose
=a , on aufa donc
{dxdy — dydxf+idztfx — dxd'z)'-\-{dydz — dzd'y)' dz(d‘xtfy — dyd‘x)+dy{ePz(Px — dxdz)+dx{dyd‘z — dzdy
La valeur du rayon de la seconde courbure dépend des •différentielles du troisième ordre des coordonnées x,y,z.
tandis que celle du rayon de la première courbure dépend seulement des difierentielles du second ordre. .
240. Si l’on a pour tous les points d’une ligne quelconque l’équation
{dxd^y — dytTx)'-^{dz^x — dxttz)'-\-{d3r<fz — dz^yf=(i , ou ( ce qui revient au même) l’équation ^ ‘
x)*-|-(rfy)*-|-(d’z)*— (d*i)‘=« ,
il en résultera , d’après les n<>* 236 et 237 , que le rayon P de la première courbure sera infini , ou que deux éléments consécutifs de la ligne comprendront toujours entre eux un angle nul, c’est-à-dire seront placés dans le prolongement l’un de l’autre. L’une et l’autre des jécpiations précédentes expriment donc d’une manière générale la condition analytique à laquelle doivent satisfaire les valeurs des coordonnées x , y, z, pour qu’elles puissent appartenir à une ligne droite.
