Si l’on a pour tous les points d’une ligne l’équation
ébddCx^y — ttyd^x)ydy{d^zd?x — iPxd?z)-‘rdx{d'yd?z~d'zd^y)=ü^
il en résultera , d'après le n° 239 , que le rayon P de la seconde courbure est infini , ou que deux, plans osculateurs consécutifs comprennent entre eux un angle nul, c’est-à-dire coïncidant l’un avec l’autre. Cette équati(m exprime donc, en général, la condition analytique à laquelle doivent satisfaire les valeurs des coordonnées X , jr, Z, pour qu’elles puissent appartenir à une courbeplane. , . „ ,
Développées.
2i2. D’après les n°* 234. et 235, si l’an veut qu’une sphère ait un contact du second ordre avec une courbe proposée dans le point dont les coordonnées sont x , y, z , il iuudra que les coordonnées a, 6, 7, du centre de la sphère , et soc rayonp , satisfassent aux trois équations
. dx{ar—x) dy{Z—y)-\-dz{y—z)=0 ds' — d^x{% — x) — — <tz{y—z)=0.
La détenninatioD d’une sphère dépendant de quatre constante , tandis que l’on doit satisfaire à trois équatidns salement , il en résulte qu’il existe pour chaque point de la courbe proposée une infinité de sphères osculatrices. Toutes ces sphères ont , comme on l’a vu cidessus, leurs centres placés sur une ligne droite, qui est l’intersection des deux plans normaux consécutifs menés à la courbe proposée dans les deux points dont les coordonnées sont X, y, Z, et jc-h^x, y+dy, z+dz. Cette ligne droite est nécessairement perpendiculaire à la tangente menée è la coinrbe au point dont les co(nrdonnées sont X, y, Z.
On peut se représenter l’mismhle des plans normaux menés à tous les points de la courbure proposée , les lignes droites qui sont les intersections des plans normaux consécutifs , et la surfaxe développailejhxrtnéx par l’ensemble de ces lignes droites. Chaque plan normal touché cette surface dans toute l’étendue de l’aréte rectiligne appartenant à ce plan. Cette arête est perpendiculaire h la tangente menée au pointde la courbe
proposée par laquelle passe le plan normal ; et elle est le lieu des centres de toutes les sphères osculatrices appartenant à ce point. Ainsi l’on peut dire que la surface développable dont il s’agit , formée par les intersections successives des plans normaux de la courbe proposée , est le lieu des centres des sphères osculatrices de cette courbe. Si l'on se place en un point quelconque f» de la surface , et que l’on mène de ce point une normale à la courbe proposée qui la rencontre au point m , la sphère décrite du point p. comme centre, arec pour rayon , aura un contact du second ordre avec cette courbe.
D’après ce qui précède , on peut considérer dans les équations précédentes « , 6,7, comme des coordonnées variables appartenant à tous les points de la surface, lieu des centres des sphères osculatrices. On obtiendrait l’équation de cette surface en joignant ,aux équations
ds’ — d’j:(a — x)— <£*^(6— j') — ^*8(7 — z)s=0 ,
les deux équations de la courbe proposée. On- aurait ainsi quatre équations au moyen desquelles on pourrait éliminer x, y, z : il resterait, après cette élimination, une équation en a, 6,7, qui serait l’équation cherchée.
24-3. Les équations précédentes subsistant toutes les fois que l’on donne s. x, y, z des valeurs qui conviennent à un point de la courbe proposée , et que l’on donne en même temps à a , 6 , 7 des valeurs qui conviennent à l’un quelconque des centres des sphères osculatrices qui appartiennent à ce point, on peut les diilérentier en
Di
faisant varier à la fois x,y, zêta, t,f. L’équation obtenue, de cette manière appartiendra encore à la surface, lieu des centres des sphères osculatrices. Eln diilérentiant ainsi la première équation , et supprimant les termes qui sont nuis en vertu de la seconde , on a
dxdct\-dyd&+dzdi=0.
Cette équation difl(prentielle met en évidence la nature delà surface dont il s’agit. Posons ds = ^ dx'-^dy+dz^ et dà'^ da-^df'+df' , on pourra la mettre sous la forme
dx djt ,dy d^ dz df ^ ds da ds d<s ds de ’
et l’on voit qu’elle exprime que dans quelques sens que l’on se déplace sur la surface à partir du point a qui est le centre d'une sphère osculatrice appartenant au point m de la courbe proposée , l’élément rectiligne du, que l’on décrira , sera perpendiculaire à l’élément ds de cette courbe, qui est placé au point m. Cette propriété résulte eBectivement de ce que la surface est touchée par le plan normal à la courbe au point m dans toute l’étendue de la ligue , qui est le lieu des centres des sphères osculatrices appartenant à ce point.
244. Considérons maintenant les lignes qui peuvent être des développées de la courbe proposée, celle-ci étant 1 eur développante , en conservant à ces expressions le sens qui leur a été donné dans les n“^ 18G et suivants. On suppose toujours qu’un fil ayant été enveloppé sur une première courbe , on le développe en maintenant constamment ce fil tendu. Chaque point du fil décrit
alors une seconde courbe que l’on nomme développante, tandis que la première courbe est nommée développée. Le caractère géométrique de la développée consiste donc seulement dans ces deux circonstances : 1» que chaque point fi de la développée est le centre d’un cercle tangent au point correspondant m de la développante ; 2* que le rayon fj/w touche la développée au point p.
D’après cela on reconnaît d’abord qu’une développée de la courbe proposée doit nécessairement se trouver sur la surface développable qui est le lieu des centres des sphères osculatrices. Car soit /, m,n,etc., plusieurs points contigus de la courbe proposée ( fig. 4.2 ) , et > v, etc. , les points correspondants de la développée. Les points fi, V, etc., devant être les centres de cercles tangents il la courbe proposée en l, m, n, etc., devront se trouver respectivement sur les plans normaux menés à la côurbe proposée aux points l, m, n, etc. Donc on passe d’un point de la développée h un autre , en passant d’un plan normal au plan normal contigu, c’est-à-dire en s’avançant sur la surface formée par les intersections successives des plans normaux. Si nous regardons les coordonnées a. S, y non plus comme appartenant à un point quelconque de cette surface, mais à l’une des développées dont il s’agit, il faudra donc admettre en premier lieu que ces coordonnées satisfont au.x équations
dx{x — X}+djr(g — jr)+dz{’/^Z)=0 ds'—cT x(a— j:)— rfy(6— if =('/— 5)r=0 ;
et de plus qu’elles satisfont à la condition que le rayon mené du point de la développée au point correspondant
de la courbe proposée soit tangent à la développée. Cette dernière condition s'exprimera en posant
dfs
da P ’
dv
da a — X
dè^
df 7 — 2 ’
dt~
L’une quelconque de ces équations étant réunie aux deux précédentes et aux équations de la courbe proposée, on aura cinq équations, dont on pourra éliminer z. Il restera deux équations en « , 6,7, qui appartiendront à la développée. Mais il importe de remarquer que ces deux équations seront des équations différentielles. Ainsi , elles ne déterminent pas une certaine développée. Elles expriment d’uné manière générale les caractères géométriques qui appartiennent à toutes les développées de la courbe proposée dont la surface développable qui contient les centres des sphères osculatrices est le lieu , et qui sont en nombre infini. Quant à la manière de déterminer en termes finis les équations d’une certaine développée passant par un point que l’on se serait donné arbitrairement sur la surface qui les contient toutes , cette recherche dépend du calcul intégral.
Il est visible , d’ailleurs , qu’en concevant la courbe proposée et la surface développable lieu des centres des sphères osculatrices existant dans l’espace , on pourrait facilement tracer sur la surface une développée quelconque de la courbe. Eu effet, attachant im fil au point / de la courbe , et maintenant ce fil tendu , on le dirigera de manière qu’il vienne toucher la surface; et il pourra la toucher en un point quelconque > de la
DigilizeS Dy Googlc
droite appartenant à cette surface , qui est située dans le plan normal à la courbe au point 1. On appliquera ensuite le fil sur la surface en le maintenant constamment tendu. La ligne obtenue de cette manière sera évidemment la développée. Elle sera une ligne' de plus courte distance sur la surface développable; et si l’on développait cette surface elle deviendrait sur le développement une ligne droite.
245. Le tracé d’une développée peut encore s’opérer de la manière suivante : Soient l, m, n,... plusieurs points contigus de la courbe proposée. Ayant mené un premier rayon X l, on fera passer un plan par ce rayon et par l’élément Im de cette courbe; puis l’on marquera le point IA où ce plan coupe l’arète rectiligne de la surface développable qui est située dans le plan normal à la courbe proposée au point m. On mènera ensuite le rayon ;/m, ou fera passer un second plan par ce rayon et par l’élément mn de la courbe , et l’on mar- • quera le point v où ce plan coupe l’aréte rectiligne de la surface développable qui est située dans le plan normal à la courbe proposée au point n. En continuant de la même manière, les points X, donneront la
courbe cherchée.
Supposons, ensuite, que l’ou développe la surface développable. Tous les plans normaux se rabattront les uns sur les autres en tournant sur leurs intersections successibles, et par suite de ce rabattement la courbe proposée se trouvera réduite à un seul point, que nous désignerons par M. En effet l’arc Im de cette courbe est perpendiculaire au plan normal passant par le point m donc dans le rabattement du plan normal , suivant
sur celui-ci, le point m viendra se placer sur le point /. De même Tare mn de la courbe est perpendiculaire au plan normal passant par le point m donc dans le rabattement du plan normal suivant sur celui-ci le point n viendra se placer sur le point m. Et ainsi de suite. Or il est évident par-là que tous les rayons X /, yxn , i>n , etc. , viendront se rabattre les uns sur les autres , et se confondre en une seule ligne droite, puisque tous se coupent , et qu’ils devront tous passer par le point M. Ainsi , toutes les développées possibles de la courbe proposée deviennent sur le rabattement dont il s’agit des lignes droites émanant du point M dans lequel cette courbe s’est concentrée , ce qui s’accorde avec ce qui a été dit dans le numéro précédent.
246. Les centres de la première courbure de la courbe proposée , qui ont été déterminés dans les numéros 236 et suivants , sont nécessairement situés sur la surface développable lieu des centres des sphères osculatrices. Concevons l’ensemble des plans osculateurs de la • courbe proposée : ils forment par leurs intersections successives une nouvelle surface développable , qui rencontre à angles droits la surface développable dont il a été question ci-dessus, et qui est formée par les intersections successives des plans normaux. La ligne d’intersection de ces deux surfaces est le lieu des centres de la première courbure.
On doit remarquer que cette ligne n’est point généralement une développée de la courbe proposée. Concevons, en eflét, trois points consécutifs/, m; n delà courbe proposée , et les trois points correspondants X , p,
V , etc. , de la courbe lieu des centres de la première cour-
by
bure^ en sorte «jue h, ma, m, etc. , sont respectivement les rayons de courbure appartenant aux points
l,m, n, etc, dé la courbe proposée. Si la ligne Xp
était une développée de Imn — , il faudrait que l’arc fut situé dans le prolongement du rayon mX , l’arc p dans le prolongement du rayon mpt, et ainsi de suite ; ce qui suppose que le rayon ma viendrait couper le rayon h prolongé, qtie le rayon nv viendrait couper le rayon mit prolongé, et ainsi de suite. Or, cela ne pourrait arriver qu’autant que les rayons successifs/), ma, n-j, etc., seraient situés deux à deux dans un même plan , ce qui n’est point , puisque chacun de ces rayons est situé dans les plans osculateurs menés respectivement aux points l, m, n, etc., de la courbe proposée. Les rayons de courbure IX, ma, »v, etc., ne peuvent se rencontrer et former par leurs intersections successives une développée , qu’autant que la courbe proposée est plane , cas dans lequel tous les plans osculateurs coïncident avec le plan de la courbe.
La vérité de la remarque précédente deviendra encore plus palpable si l’on considère le rabattement dont il a été question dans le n° 245. En eflet, chaque rayon de la première courbure de la courbe proposée est perpendiculaire à l’aréte rectiligne correspondante de la surface développable lieu des centres des sphères osculatrices , et dans le rabattement des plans normaux les uns sur les autres, ce rayon de courbure et cette arête ne cesseront pas de se couper à angles droits. Donc les rayons /), W(i, /IV, etc., delà première courbure de la courbe proposée ne seront autre chose sur le rabattement que les perpendiculaires .^baissées du point M sur les inter-
sections successives des plans normaux. Donc ces rayons ne pourraient se confondre en une seule ligne droite ( ce qui serait nécessaire pour que les points f», », etc., appartinssent à une développée), qu’autantque toutes les intersections seraient parallèles entre elles , ce qui ne peut avoir lieu à moins que tous ces plans osculateurs ne coïncident entre eux , c’est-à-dire à moins que la courbe proposée ne soit plane.
247. D’après le n° 235 , la sphère dont le rayon p, et les coordonnées du centre « , ^ , 7 , satisfont aux trois équations
(a — x)rfx-H 6 — ^)<<y+( 7 — *)rfz=0. ... (B) ds' — (a — x)iTx — (S — y)d“y — ( 7 — z)<fz 30 . . (G)
a un con tact du second ordre avec une courbe à double courbure proposée dans le point de cette courbe auquel appartiennent les coordonnées a: z. Ces trois équations
ne déterminant pas entièrement les quatre quantités p. Cl, 6 , 7 , il existe une infinité de sphères osculatrices à la courbe proposée dont il s’agit. Toutes ces sphères ont leurs centres placés sur la ligne droite intersection des deux plans normaux menés à cette courbe par les points dont les coordonnées sont x, y, z, et x->rdx , y+dy, z+dz. Les équations (B) et (C) appartiennent respectivement à ces deux plans.
Si l’on continuel’opération par laquelle les deux équations (B), (C), ont été déduites de l’équation (A), c'est - à - dire , si l’on diflérentie l’équation (C) par rapport à x , y , z seules , on aura une quatrième équation
idsds- — (a — x)tPx~-(ç — y)d^y — ( 7 — z)d‘z=0. (D)
qui, étant réuni'es aux précédentes^ dtéterminera en* tièrement les quantités a , 6, 7 et p. La sphère pour laquelle les coordonnées du centre «, 6, 7 satisferont aux trois équations (6), (G) et (D) aura un contact du troisième ordre avec la courbe proposée dans le point de cette courbe dont les coordonnées sont x,jr, z.
On doit remarquer d’ailleurs que les centres de toutes les sphères ayant un contact du troisième ordre, avec la courbe proposée, se trouveront placés sur l’arête de rebroussement de la surface lieu des centres des sphères osculatrices qui est produite par les intersections successives des lignes droites , dont cette surface est le lieu. En ellét les trois équations (B), (G), (D), lorsqu’on y regarde*, 6, 7 comme les variables, appartiennent aux trois plans normaux menés à la courbe proposée dans les points dont les coordonnées sont respectivement x, y, z; x-+dx, y+dy, z-\-dz\ et x+'i.dx+d'x, y+ldj+d'y.
Le système des deux équations (B), (G) appartiennent à l’intersection des deux premiers plans, et le système des deux équations (G), (D) appartient à l’intersection du second et du troisième plan. Ces trois équations réunies appartiennent donc au point commun à ces deux intersections , c’est-à-dire au point de l’arête de rebroussement dont nous venons de parler. Si l’on élimine x,y, zdes équations (B), (G), (D) au moyen de deux ^
équations de la courbe à double courbure proposée, les deux équations restantes en «, 6, 7 appartiendront à cette arête de rebroussement.
248. Une courbe à double courbure quelconque et l’arête du rebroussement de la surface développable qui est le lieu des centres de ses sphères osculatrices, ont
d’ailleurs une relation qu’U est utile de faire connaître^ Remarquons , 1“ que deux tangentes consécutives à l’aréte de rebroussement sont perpendiculaires aux deux plans osculateurs consécutifs correspondants delà courbe proposée; car ces tangentes ne sont autre chose que les intersections des plans normaux à cette courbe ; 2“ que deux plans osculateurs consécutifs de l’arête de rebroussement sont perpendiculaires aux deux tangentes consécutives correspondantes de l’arête proposée; puisque ' ces deux plans osculateurs ne sont autre chose que les plans normaux à cette courbe. Donc , 1° w désignant , comme dans le n“ 238 , l’angle de deux tangentes consécutives d’une courbe proposée, il désignera également l’angle des deux plans osculateurs consécutifs correspondants de l’arête de rebroussement de la surface lieu des centres des sphères osculatrices ; et 2° n désignant, comme dans le n* 239 , l’angle de deux plans osculateurs consécutifs de la courbe , il désignera également l’angle des deux tangentes consécutives correspondantes de cette arête de rebroussement. Ces propositions ont été données par M. Fourier.
Kxcmplc de rapplication des résultats précédents.
249. Considérons la courbe désignée sous le nom A'hélice , qui est tracée sur la surface d’un cylindre droit à la base circulaire « de manière à couper toutes les arêtes de cette surface sous le même angle. Soit R le rayon du cylindre, dont nous supposerons que l’axe coïncide avec l’axe des z, et représentons par a la tangente trigonométrique de l’angle constant formé par chaque élément de la courbe avec le plan des xy. Enfin
— aSj —
désignons part l’angle compris entre le plan des xz et le rayon du cylindre mené au point de l’hélice , dont les coordonnées sont x,jr, z. La nature de la courbe doi^ne évidemment
• x=Rcos.t, \y=Rsin.t, 2=R<z/,-
d’où l’on déduit pour les équations en x,^, z des projections de l’hélice sur les plans coordonnés
JT y
x*4;y’=R’, z=Ra.arc.cos.— , z=Ra.arc.sin.
Cela posé, si l’on veut déterminer en premier lieu la direction de la tangente menée à un "point quelconque de la courbe^ on aura, par les premières équations ,
dx= — Rsia.t.de, efy’=Rcos.e.dt , dz=Ra.de.
Donc
dj' 1 d Z a
dx
1 dz
tang.f’ dx~ sin.t
et substituant ces valeurs dans les formules du u* 223, il viendra
ou si l’on veut
' y Kï+â* R
sin.r cos.r a
cos.S= — , cos.y^
Kl+a*
Kl+a*
cos.a=
