COS.5= ■ —, C0S

|/l+a* R ' Kl+a’ D’après cela les équations de la tangente seront

cos/“^ '^‘'x—x> tane.t’

tang.

et celle du plan normal

sin cos y )— <i(ï— z') =0 .

a;', y, z' désignent les coordonnées du point de tangence m ; t est l’inclinaison sur l’axe des x du rayon Ow qui répond à ce point. Tous les plans normaux forment le même angle avec le plan des xjr.

250. En second lieu , pour la détermination du plan osculateur et des rayons de courbure, on déduira. des expressions précédentes

dx= — Rsin.ï.^fr, t/^=Rcos.<.rfr, dz=l^.a.dt,

et prenant t pour la variable indépendante, -

(Px= — Rcos./.rfr’, d‘y= — Rsin.r./fr*, rf’z=0;

cfx=Rsia.t.dd, — Rcos.^.^/^’, <fz=0;

et par suite

dx sin.r dy cos.r dz a

~ VTw' ~ yTw'

Ainsi l’expression du rayon de la première courbure p du Tl 23G donne ici

et les expressions de cos. cos. pi, cos. v du même numéro , qui déterminent la direction de ce rayon, donnent

cos.X= — cos.r, cos.(i= — sin.r, cos.v=0j

d où l’on conclut que le rayon de la première courbure appartenant à chaque point de la courbe est dirigé sui-

— 2DCJ —

vnnt le rayon du cylindre mené à ce point. Ainsi , tous les centres de la première courbure sont placés sur une hélice qui a le même axe et le même pas que l’hélice proposée , mais qui est tracée sur un cylindre dont le rayon est a*R.

L’équation du plan osculateur, n° 233, devient

asin.t(j; — x '} — acos.<(j'— ^')4-z-

Tous les plans osculateurs forment le même angle avec le plan des xy. <

Quant à l’expression du rayon P de la seconde courbure , la formule du n“ 239 donne

d’où

et comme ce rayon est dirigé suivant la perpendiculaire au plan osculateur , les cosinus des angles qu’il forme avec les axes des x , des y et des z sont respectivement

asin.^ Æcos.r 1

f/ïw’ Kï+^’

expressions qui indiquent une direction perpendiculaire à la lois à la fangente de la courbe déterminée par les angles « , 6, y , et au rayon de la première courbure déterminé par les angles >, [i, v.

Si l’on désignait par 't- l’angle constant formé par la tangente de la courbe avec le plan des xy, on aurait tang. s'=a, et les expressions précédentes s’écriraient plus simplement

cos. 2 — — cos.'P.sin.i . cos.6=rcos.'P.co.s.t , cos.y=sin.'F.

cos. V sm.'P.cos.T

251. Consklérons maintenant la surface développaUe <|ui est le lieu des centres des sphères osculatrices de la courbe proposée. Le cercle dont le rayon est 0m= R étant (/?ÿ. k'i ) la base de l’hélice proposée (qui se projette en m'n' sur le plan des xz ), le cercle dont le rayon 0u= (l-Ki’)R Sera ( la figure est tracée pour le cas où a est > 1 ) la base de niélice lieu des centres de la première courbure qui se projette en [*'•/ sur le plan des xz. et my seront les deux projections du rayon de première courbure appartenant au point de l’hélice proposée dont les projections sont m,m'. Cela pose , la surface développable qui contient les centres des sphères osculatrices n’est autre chose que le lieu des intersections successives des plans normaux à l’hélice proposée menés par tous les points de cette courbe. Et comme tous ces plans forment le môme angle avec le plan des , la surface qui est lieu de leurs intersections successives est une surface hélicoïde , cette dénomination étant appliquée à toute surface décrite par le mouvement d’une ligne ou d une autre surface dont un point parcourt une hélice , tandis que les parties de la ligne ou de la surface tournent autour de l’a^e de cette hélice. De plus , les intersections successives dont il s’agit ont toutes un point placé dans l’hélice projeté en (/,•>', qui est le lieu des centres de la première courbure de l’hélice proposée. Toutes forment le même angle avec le plan des xjr, et elles sont toutes perpendiculaires au rayon du cylindre sur lequel l’hélice projetée en gVest tracée. Donc elles ne sont autre chose que les tangentes de cette hélice , qui est le lieu de leurs intersections successives, c’est-à-dire l’arête de rebroussement de la surface développable, gv et gV re-

2ÔI —

présentent sur la figure les projections de la tangente au point Les points r où ces tangentes rencontrent le plan des xy forment sur ce plan une courte composée de deux branches ta , tV' qui sont des développantes du cercle dont Ofji est le rayon. On voit par ce qui précède que la surface développable lieu des centres des sphères osculatrices est partagée en deux nappes distinotes par Thélice lieu des centres de la première courbure qui est son arête de rebroussement. Ces deux nappes ne pénètrent point dans le cylindre dont Of» est le rayon, mais elles s’étendent à l’infini dans tous les sens au dehors de ce cylindre dont elles rencontrent la surface à angles droits. '

On peut trouver l’équation de la surface lieu des centres des sphères osculatrices conformément à ce qui a été dit à la fin du n° Si dans les équations

dx{x — x)+dy[e—y)+dz[y — z) =0 di — tFx[a — x) — d'y (S— y) — d‘z[y — z) =0 ,

qui appartiennent à deux plans normaux consécutifs de l’hélice proposée , on met pour x , y, z, et leurs différentielles, les valeurs précédentes en t , il viendra

osin.f — Çœs.i=à[y — Ru/) aCos./4-€sin ./ = — «’R.

Le système de ces deux équations représente évidemment la ligne d’intersection des deux plans normaux consécutifs menés au point de l’hélice proposée projeté en m, m', c’est-à-dire la tangente menée au point projeté en l’hélice lieu des centres de la première courbure. La seconde, qui ne contient que a et 6 , est l’équation dè

la projection de cette tangente sur le plan des xyi et on reconnaît aisément qu’elle apparlieut.à la tangente ftr, menée par le point p au cercle dont le rayon est Of» ou a’R , conformément à ce qui a été dit ci-dessus.

Si l’on éliminer entre ces deux équations, le résultat conviendra à toutes les lignes d’intersection qu’elles représentent, ou à la surface déve^ppable qui en est le lieu. Pour effectuer cette élÿnination , on ajoutera les équations après les avoir élevées au carré, ce qui •lonnera^

d’où l’on déduit

-Ij

et en mettant cette valeur dans la seconde équation il viendra

pour l’équation demandée de’ la surface développable.

Remarquons que si l’on fait 7=0 dans l’équation précédente a’ + S’ = a^R’4a’, {7 — Rat)’, le résultat, qui est

appartiendra aux points t, où les intersections successives des plans normaux qui répondent à chaque valeur de l’angle t, et qui forment la surface développable, rencontrent le plan des jy. Or |Xa’+ 6 ’. représentant la dis- Uince Or, tandis que a’R est représenté par 0^, on conclut que la distance fxrdoit être égale au développement

de Tare t dans le cercle dont le rayon est a R, ou que lu courbe ta doit être une développante de ce cercle, comme on l’a dit ci-dessus.

252. Si l’on veut, enfin , connaître les développées de. l’hélice, qui sont situées sur la surface développable dont il vient d’étre question , on y parviendra de la manièresuivante. Soit comme ci-dessus un point quelconque de l'hélice proposée projeté en m {fig. Jiü ) sur le plan des xy, et en m' sur le plan des xz, et le centre de la première courbure de l’hélice correspondant à ce point , qui est projeté en pt, fl'. Considérons l’ensemble des plans ' normaux menés à l’hélice proposée , et supposons que l’on rabatte tous ces plans , eu les faisant tourner autour de leurs intersections successives ,'sur lë plan normal mené par le point m, ml . D’après ce qui a été dit n° 245 l’hélice proposée se réduira dans ce rabattement à un. seul point m", et comme toutes les distances mu sont égales entre elles, l’hélice Heu des centres de la première courbure se rabattra sur une circonférence de cercle décrite du point m" comme centre avec le rayon m"fi"î= mfi. Toutes les révolutions de cette dernière hélice se trouveront développées et rabattues les unes sur les autres , suivant leur véritable longueur, sur la circonférence de cercle dont il s’agi t.

Cela posé , admettons que l’on veut déterminer -la développée dont le premier point est projeté en fx, u', et rapporté en fx" sur le rabattement. Conformément à ce qu’on a vu n® 245, cette développée sera représentée sur le rabattement par la ligne droite m"fx" qu’il faut prolonger à l’infini dans les deux sens. Si l’on veut donc trouver un point quelconque de la développée dont il

■fagit, on considérera que les arêtes rectilignes de la surface développable , c’est-à-dire les tangentes de l’hélice lieu des centres de courbure, sont représentées sur le rabattement par les tangentes au cercle dont le rayon est Si donc on marque sur cette hélice le point correspondant au point e (c’est-à-dire le point qui est situé au-dessous du point fi, à une distance mesurée sur l’hébce égale aVarc/'e); si l’on mène en ce point une tangente à l’bélice , et si l’on porte sur cette tangente la distance e/*, on aura le point cherché de la développée.

Pour construire d’abord de cette-manière la partie de la développée commençant au point ;x, («'qui se trouveplacée sur la nappe supérieure de la surface développable, on tracera donc les tangentes de la partie de l'hélice projetée en fJ, fit, et rabattre en p"/'. Or, la tangente menée au point f sur le rabattement ne rencontre plus la ligne m"(t" prolongée. Donc si le point l, ü de l’hélice est situé à une distance du point fi' mesurée sur cette hélice égale à la longuetir du quart de circonférence on est assuré que la portion de courbe dont il s’agit , projetée en («a , /a', devient à une distance infinie parallèle à la tangente de l’bélice menée au point /, f . Elle a donc pour asymptote la ligne LA , L'A' menée parallèlement à cette tingente par le point L,L' de l’hélice proposée qui est diamétralement opposé au point /, Le point L,L' termine l’arcmL, m'L' del’bélice proposée qui peut être décrit par le développement de la portion de courbe (*«, f«'a'.

Si l’on vent en second lieu construire la partie de la développée commençant au point ft, («' qui se trouve

placée sous la nappe inférieure de la surface développable, on emploiera les tangentes de la partie de l’hélice projetée en jt/j , ft'/t' et rabattue en en portant sur chaque tangente la longueur g/i en contrebas du point de tangence. Ou obtiendra de cette manière la portion de courbe fxA, Et comme la tangente menée sur le rabattement au point lî' ne rencontre plus la ligne m"(i" prolongée, il s’ensuit qu’ayant marqué sur l’hélice le • point n, n' qui est situé à une distance du point (x égale à la longueur du quart de circonférence f*” gnl', la courbe pi, p,i' tend à devenir à l’infini parallèle à la tangente de l’hélice menée au point n,n'. Cette courbe aura donc pour asymptote une parallèle à cette tangente menée par le N, N' de l’hélice proposée , qui est diamétralement opposé au point Le point N, N termine l’arc mN, /n'N' de l’hélice proposée qui peut être décrit par le développement de la portion de courbe pi, p'i'.

Les deux portions de courbe pa, p'a et pi, p'i' forment deux branches distinctes de la développée, réunies au point p, p' qui est un point de rebroussement.

Pour continuer à tracer cette courbe , et trouver la branche dont le développement pourrait décrire l’arc de l’hélice proposée qui est au-dessus du point N, N' il faudra construire les tangentes à la portion np, n'p' de l’hélice lieu des centres de courbure , qui est rabattue en ri'ip” , puis porter de bas en haut sur ces tangentes , à partir du point de tangence , les longueurs ik. Or, il est visible que si l’arc d’hélice np, n'p' est égal en longueur au quart de circonférence n"ip'', cette opération donnera la portion de courbe pc,p'c', parfaitement égale

aux précédentes , ayant pour asymptote le prolongement NC, N'C' de la ligne NB, N'B'.

La même construction donnera ensuite par les tangentes de la portion pq, p'q' de l’hélice lieu des centres' de courbure, qui est rabattue sur le quart de cercle^'^", la portion de courbe pd,p'd, qui est réunie en p,p' à la précédente par un point de rebroussement. Et ainsi de suite.

On voit par ce qui précède que la développée de l’hé- * lice proposée est formée d’une iuGnité de branches parfaitement égales entre elles , placées alternativement sur les nappes supérieure et inférieure de la surface développable qui est le lieu des centres des sphères oscu-, latrices. Chaque branche est réunie à la précédente par un point de rebroussement, et à la suivante par une asymptote qui leur est commune. Les points de rebroussement sont placés sur l’hélice lieu des centres de courbure, à des intervalles égaux à la longueur du demicercle dont le rayon est égal au rayon de courbure (l+a’)R. '

253. Pour appliquer à l’hélice les notions présentées danslen'2W, On remarquera qu’à l’égard de cette courbe les trois équations (B), (C), (D) de ce numéro deviennent respectivement, lorsqu’on y remplace x}y, z et leurs

dillérentielles par leurs valeurs en t,

asin.t — Gcos.t=a(7 — Rut) ocos.t-|-Gsin.t= — a’R ' asin.t — ëcos.t=0;

et qui se réduisent aux deux suivantes ;

BCOS.t+6bin.t= — o’R et 7— Rat,

Elles représentent évidemment une hélice dont le rayon est a’R , dont le pas est égal au pas de l’hélice proposée, et qui est placée dans une position opposée à cette dernière. Ces caractères appartiennent à la courbe qui est le lieu des centres de la première courbure de l'hélice proposée , comme on l’a trouvée dans le n° 2S0 ; et l’on a vu efl’ectivement dans le n° 251 que cette courbe était l’arête de rebroussement de la surface lieu des centres de la première courbure. >•

Ainsi les sphères dont le rayon mesure la première courbure de la courbe proposée, et qui n’ont en général qu’im contact du second ordre avec cette couche, ont dans le cas particulier de l’hélice un contact du troisième ordre. Quant à la proposition du n° 24^8 on remarquera que

*> = il — i et que d’après les valeurs de ds, p et

P données n“ 250 , on a par conséquent pour l’hélice proposée

dl

yi+a‘ yi+a’

Or l’aréte de rebroussement de la surface lieu des centres des sphères osculatrices est ici une seconde hélice dont le rayon est a‘R et dont le pas est égal à celui de l’hélice proposée ; d’où il suit qu’en appelant a' la valeur de a qui conviendrait à cette seconde hélice , on doit avoir

«'= — . Mais si l’on écrit — à la place de a dans a % a

les expressions précédentes , elles deviennent respectivement

adt

adt

ft=-

dl i+û

en sorte que la valeur de l’angle « appartenant à la courbe ne diflère pas de la valeur de l’angle il appartenant h l’arête de rebroussement, et réciproquement la valeur de l’angle n qui appartient à la courbe ne diflère ’ pas de la valeur de l’angle m qui appartient à l’arête de rebroussement; ce qui est conforme aux propositions énoncées.

XXllI. INTÉGRATION DES FONCTIONS DIFFÉRENTIELLES LES PLUS SIMPLES d’dNE SELLE VARIABLE.

254. Une fonction différentielle du premier ordre d’une seule variable x est représentée en général par

Xdx,

X désignant une fonction quelconcpie de x. Cette fonction différentielle est toujours le résultat de l’opération de la différentiation appliquée à une certaine fonction^ de la variable x , en sorte que l’on a

dy=Xdx et ^ =X ;

dx

OU du moins on peut toujours la regarder comme le résultat d’une telle opération. L’opération désignée sous le nom ^intégration consiste à trouver la fonction^ lorsque la différentielle Xdx est donnée , ou en général à trouver une fonction de x qui, étant différentiée, donne pour sa différentielle Xdx.

La fonction de la variable x qui , étant différentiée , donne pour résultat la différentielle proposée Xdx, est nommée Yintégrale de cette différentielle. De plus on désigne l’intégrale de la fonction différentielle X dx par

le / placé au-devant de Xdx. Ainsi , réc|uation précédente

étant posée, elle entraîne la suivante :

y=f\dx ,

et réciproquement. Mais il importe de remarquer que si l’on avait trouvé une fonction de x, qui , étant différentiée , donnât pour résultat \dx, on pourrait ajoutera cette fonction une constante quelconque C, sans qu’elle cessât de donner ~Kdx par sa différentiation. Si donc la' fonction qu’il s’agit de trouver ne nous est connue que par cette seule condition qu’en la différentiant l’on doit trouver pour résultat Hdx, nous devons, pour en former l’expression générale , comprendre dans cette expression le terme constant et arbitraire C. D’après cela , J- représentant l’intégrale de la fonction différentielle proposée Xdx , nous écrirons généralement

jr—C+fXdx.

Dans cette équation JKdx représente le résultat immédiat de l’intégration , c’est-à-dire la fonction de x qui , étant diiléreutiée , donnera Xdx pour sa différentielle. C est la constante arbitraire qui doit être ajoutée à cette fonction pour donner à l’expression de l’intégrale y la généralité nécessaire. Au moyen de l’addition de cette constante on est assuré quej^ comprend toutes les expressions analytiques formées de la variable x qui, étant diflérentiées , donnent X/ixpour leur différentielle comrmune ; car ou ne pourrait ajouter à JXdx qu’une quan-

lité dont lîi fonction dérivée fût nulle, cW-à-dire une constante.

Tant que l’intégrale y n’est définie que par cette seule condition d’avoir Xetr pour difi’érèntielle , la constante C demeure entièrement arbitraire. Mais dans toutes les questions qui dépendent du calcul intégral, il existe toujours des conditions d’après lesquelles on peut fixer la valeur de cette constante et parvenir à un résultat déterminé.

255. Ce n’est pas sans raison que l’on a affecté l’expression Xtfo; de l’initiale du mot somme pour exprimer la fonction dont la différentielle est ~Sjix. En effet une fonction quelconque peut toujours être regardée comme la somme d’un nombre infini de valeurs de sa différentielle. Pour le montrer clairement, nous reprendrons la considération, déjà employée dans d’autres occasions, des valeurs successives

Xo,j:„+Ax, j:o+2Aj:,Xo-f3Aa:, Xo-j-(/i — 1 ) Ar,o:,-+-nA a:,

attribuées à la variable indépendante x , Aa: étant regardée comme une différence constante , et des valeurs correspondantes

affectées par une fonction y de cette variable. Les différences de deux valeurs consécutives de y étant exprimées par ^ya, Ay., aj^,...A^,i , nous avons évidemment (pourvu’que depuis x = 0 jusqu’à x=a:, la fonction^ ne prenne pas de valeurs infinies)

r»=ro+Ayo+Ay'.-t-Ay',-fA>',+ +A>-,,

expression qui peut s’écrire

\^x CiX ^x ^x Aj: J

Admettons maintenant que la différence nx diminue de plus en plus en s’approchant de zéro, et quelenombrc H augmente dans le même rapport , en sorte que n&x ne change point. Le nombre des termes compris dans la parenthèse augmentera de plus en plus , et la valeur

de l’un quelconque — de ces termes tendra à se con-

dy '

fondre avec la valeur du coefficient dilïérentiel -j— qui

ax '

répond à la valeur dé la variable x. D’où l’on

voit qu’à mesure que Aor diminue la quantité

4Xo , AT.

A JT ' ÙlX a X A X

Ar„-i

ÙX

s’approche d’une limite qui est la somme des valeurs en nombre inGni que prend la différentielle "^dx de la

fonction proposée, lorsqu’on fait croître la variable indépendante X par l’intervalle constant et inffniment petit dx , depuis x=’x, jusqu’à x = x^-f-n^x. Oa en conclut que l’on passe de la valeur quelconques^ de la fonction à ime autre valeur quelconques. ajoutant à S» la somme des valeurs que prend la différentielle ^y

-^dx dans l’intervalle compris entre les valeurs et X qui répondent àso et y.

Si nous représentons donc comme ci-dessus par Xc?x

la différentielle de la fonction y, c’est-à-dire -j^dx, nous

pourrons écrire à la place de l’équation précédente

y—y’drfj^dx. .

Le signe indique que l’on a fait la somme des valeurs de la dilFérentielle Xiir qui répondent à toutes les valeurs x^,x„-¥dx , x^+'idx, x„+3«ir, etc. , jusqu’à la valeur a:o+(rJ — l)<irqui précède la valeur j; correspondante à la valeur^ de la fonlion qui est dans le premier membre. En écrivant au bas du signe d’intégration J, on spécifie la valeur particulière de a: correspondante à partir de laquelle la somme est prise.

L’équation précédente subsiste d’ailleurs quelles que soient les valeurs correspondantes Xo et et si l’on avait simplement donné une différentielle X^x sans spécifier à partir de quelle valeur x, de la variable indépendante on voulait sommer les valeurs de cette diflérentielle , ni quelle était la valeur correspondante de la fonction , il n’existerait aucun moyen de les déterminer. Donc en considérant dans l’équation précédente la fonction^ comme étantassujettie à cette seule condition d’avoir Xc?x pour différentielle, il faut y regarder x, co mm e arbitraire aussi bien que yo. Il est donc inutile de marquer la valeur indéterminée de x à partir de laquelle la somme JTi-dx est prise , et l’on peut écrire comme dans le numéro précédent

y=C+fXdx.

256. L’indétermination de la valeur de l’intégrale y, et la nécessité d’en compléter l’expression par l’addition d’une constante arbitraire , paraîtront bien évidentes si l’on considère x comme l’abscisse d’une corube plane dont J* représente l’ordonnée. En effet , lorsque la fonction y est donnée explicitement ou implicitement en x , la figure de la courbe est entièrement déterminée. Mais

il n’en est pas de jn^me lorsqu’on donne seulement la différentielle dy = "SAx, ou le coefficient différentiel

^=X delà fonction dont il s’agit. L’expression de cq

coefficient différentiel détermine simplement la direction de la tangente de la courbe qui a lieu pour chaque point correspondant à une valeur donuée de ar. Si l’on conçoit qu’une courbe mm a été tracée de manière à sa-

tisfaire à cette condition X, et qu’ensuite onia

déplace en faisant décrire à tous ses points des parallèles à l’axe des J', elle satisfera encore à cette même condition diuis toutes les positions mm, mm qu’elle occupera ; et il n’y aura aucune raison pour choisir une de. ces positions plutôt que toute autre.

Il est évident , d’ailleurs, que l’ordonnée de la courbe' doit être exprimée par la fonction de x qui a pour coefficient différentiel X, fonction que nous représentons par fXdx. Mais si l’on s’en tenait à cette seule fonction en écrivant simplement j^=yX<fx , on choisirait entre les courbés dont il s’agit , puisqu’à une valeur déterminée de X correspondrait alors une valeur déterminée àey. Si l’on veut donc (comme il est nécessaire de le faire) conserver à l’intégrale une aussi grande généralité et un sens aussi étendu qu’à la différentielle proposée , on écrira

y=X^+J^dx,

C désignant une quantité constante arbitraire. Dé'cètte manière l’expressian de^peut représenter l’ordonnée de toutes les courbes en nombre infini dont la dirèction de

Dioiîiz;

.gk

la tangente est déterminée dans un point quelconque par

dy ,

l’expression ^ = X du coefficient dÜTérentiel du pre-

mier ordre. ,

257. Remarquons enfin que , pour faire cesser toute indétermination sur la courbe dont la fonction^ doit représenter l’ordonnée , il suffirait de $e doimer un point quelconque par lequel cette courbe devrait passer. 11 est facile de se rendre compte , en ellet , que la connaissance d’un seul point d’une courbe, .et de la direction de la tangente correspondante à une valeur quelconque de l’abscisse, ^ffit pour tracer cette courbe dans toute son étendue. Mais se donner un point d’une courbe , c’est-àdire qu’à une certaine valeur x» de x correspond une certaine valeur de jr<> de jr- Or, si l’on fait une telle supposition , la constante arbitraire G de l’équation

y=Ci+J^dx

SC trouvera déterminée ; car soit P la fonction de x , dont la diflérentielle est Xrfa:, et désignons par Po la valeur que prend P qiutnd .r=0. On devra donc avoir

i yo—O+Po ,

équation qui détermine la valeur de C.

En général , la constante arbitraire est déterminée lorsque, en donnant la diflérentielle X<ir dont on demande l’intégrale^, on ajoute qu’à une certaine valeur donnée a de x doit répondre une valeur également donnée b pour y. ' * .

258. La nature de l’opération désignée par le nom d’intégration étant expliquée par ce qui précède, il

resle à indiquer les moyens jque l’analyse fournit pour ellectiier cette opération, c’est-à-dire pour trouver la fonction finie de la variable x qui , étant diflérentiéc , donnera une dillérentielle quelconque proposéeX</x; ou si l’on veut pour trouver la fonction primitive dont une fonction donnée X est la fonction dérivée ou le coefficient différentiel du premier . ordre. Mais nous devons faire observer cpie , tandis que l’opération qui consiste à déduire d’une fonction donnée y sa dillérentielle dy s’effectue par un procédé réj^ulicr conduisant toujours au résultat demandé , l’opération inverse qui consi^e à revenir de la différentielle à la fonction primitive ,-nc peut au contraire s’effectuer que dans des cas particuliers, et en quelque sorte par exception. En général , on n’est pas assuré de pouvoir assigner en termes ffiais la fonction primitive de j; correspondante à une différentielle donnée Xr/jc ; en sorte que l’on, est souvent obligé , comme on le verra par la suite , de suppléer par des procédés d’approximation au manque de l’expression finie de cette fonction primitive. Il importe, d’ailleurs, de connaître les principaux cas dans lesquels l’intégration pe*t être effectuée, et les méthodes dont cette.opération exige l’usage.

259. Il est évident, en premier lieu, que l’on obtient immédiatement l’intégrale d’uâc dillérentielle proposée lorsque cette différentielle est reconnue pour appartenir aux fonctions simples dont il a été (juestïon ci-dessus dans les art. II et IIL D’après cela, on voit sur-le-champ «ju’en supposant

— i’jS —

■dy^x^dx.

on aura