JJ

dx

C+te

e^dx

a^dx

sm.x.dx

C — cos.x

coa.x.dx

G*t*sm,x

C+tang.x

- cos. X

C — cot.x

sîn.*x

ax

G+arc.sin.x

yt-x'

dx

G -P arc. cos.x

dx

G+arc.tang.x

dx

G+arc cot.x.

*jf Xa formule fj^dx^

■ subsiste en général

pour toutes les valeurs positives ou négatives , entières

ou fractionnaires, et même

irrationndles , de l’ex-

posant m. On peut distinguer les cas particuËers

suivants :

r dx 1 y—

— — =s2 Kx,

qui se présentent fréquemment. II faut toutefois excepter le seul cas où l’on aurait m«=— 1, et où lafor-

mule générale donnerai t /^=^. Ne concluons pas,

d’ailleurs, de ce résultat que l'analyse indique ici une valeur infinie pour l’intégrale delà fonction différentielle

— , ce qui serait absurde. Nous devons remarquer , en

■effet , que l^intégrale doit être complétée par une constante arbitràire.’Or, comme rien n’empécbe de stipposer à cette constante* une valeur infinie négative,, il faut seulement conclure que l’expression générale

C + ^^ - donne un résultat indéterminé quaûd

m= — 1. En mettant cette expression sous la forme

•, a désignant une constante (ce qui est

permis) , et la considérant comme une fonction de m

qui devient ^ lorsque l’on attribue à i» la valeur — 1 ,

on pourra en trouver la véritable valeur en appliquant les règles données dans lés numéros 9V et suivants. Le rapport des coefficients différentiels des deux termes de la fraction' pris relativement à m est

■ ■ ' ■ ^ et donne en faisant m = —1 , Ix—la

pour l’eiipresslbti de la fonction cherchée. On sait ef-

fectivement, parle caicui ainereuuei, que a. ix — — ,

d’où résulte J'-—=. Ix , expression à laquelle on doit

ajouter une constante arbitraire.'La valeur — 1 attribuée à l’exposant m entraînant un changement dans la nature de la fonction par laquelle l’intégfale est représentée ,

Ibnction qui alors n est plus comprise dans l’expression générale C + — on est averti de cette circouslanco par la valeur indéterminée que prend alors cette expression. ^

260. A l’égard des fonctions diilérentielles plus composées , on. ne parvient à les intégrer qu’en employant divers procédés dont l’objet est toujours ou de décomposer la fonction j).roposée en d’autres fonctions diilérentielles plus simples qui rentrent dans quelques-unes des précédentes* ou d’en changer la forme par la substitution d’une autre variable à la variable x , afin dç la faire rentrer également dans les diilérentielles dont les fonctions primitives sont immédiatement connues. Oh enfin . de fiiirç dépendre la recl^erche de l’intégrale demandée de la connaissance d’une autre intégrale qu’il est plus facile d’obtenfr. .

Tel est l’objet du proçédé connu sous le nom. d’intégration par parties , qui est un des plus généraux dont on fasse usage.tdans le calcul intégral, ^lemarquous que

. d.uv=udv+vdu '

donc réciproqu^ient

uv = Judt^+Jtfdu;

d’où l’on tire

Judt>z=ui> — Jçdu.

Ainsi, ayant mis une diiférentielle quelconque proposée sous la forme udv, c’est-à dire sous la forme du produit ^ "d’une fonction finie « de la variable x, par la fonction dUIéreulicllc dy dcfctte même variable (dont nous sup-

posons que l'On' connaisse l’intégrale »>), la reohêrche de l’intégrale Judv est ramenée à connaître Fintégrale fvdu. Il est superflu d’ajouter que l’expression de l’intégrale demandée doit toujours être complétée par une constante arbitraire , que nous avon^omis d’écrire dans l’équation précédente. * • *

261. Pour faire concevoir par jm exemple l’utilité du , . procédé de l’intégration par partfes , soit la différentielle proposée cos. jcrfar. Nous considérons les deux fac-. ■

teursxetcos.jfrfx, dont le dernier a pour intégrale sin.ir. Ainsi , conformément à la formule générale précéjleiite , nous écrirons '

Jxcos.xdx = x.s'm.x — Jsia. xdx

= a:.sin.x-pcos. X ^

et en complétant^’intégrale par une constante arbitraire nous avons . ^ ^ .. „

y = C+x.sin.'x+cos.x ,

expression dont l’exactitude peut être vérifiée parla différentiation. Ajoutons que le succès de l’opération dé-* pend en général du eboix des facteurs dans lesquels on décompose la différentielle proposée. Si dans la différentielle précédente x cos. xdx nops considérions les deux facteurs cos. x et xdx, dont le dernier » pour intégrale ^ , nous devrions écrire ,

/ , - Æ-'cos.x

cos. X. xdx =

x'cos.x

— (— sin.xdx)

/ x’sin.c

xdx 2 ’

en sorté que la recherche de l’intégrale demandée se trouverait dépendre de la recherche d’une autre intégrale plus compliquée. On doit toujours décomposer ( s’il est possible) la dilTérentielle proposée de manière que l’intégration d’un des Acteurs et la dÜFéi'entiation de l’autre la ramène à pnè expression plus simple dont l’intégrale se présente immédiatement.

262. L'opération db l’inté^ation des fonctions différendeUes peut d'ailleurs être facilitée par les remarques suivantes : * '

1° Lorsqu’une diilérentielle est alTectée d’un facteur constant , ce facteur affecte également l’intégralé

dy=aTLdx donne y=C+aJ'Kdx.

2° Lorsque la fonction proposée présente la somme de plusieurs didérentielles , l’intégrale dânandée est également la somme des intégrales de ces différentielles considérées’ chacune k part

efys=Xdx+X.,dx — X^dx . ■ ' •

'donne *

yr=C+ fXdx+fXdx—fX^dx.

3° Lorsqu’une différentielle est de la formé , ou peut être misé sous la fohne

. ; ' /(X).dx, ,

X désignant toujours une fonction quelconque de la variable X, on peut alors la traiter comme si X était une variable indépendante; en sorte que si F(x) représente la fonction de x dont la différentielle est c’est-àdire si l’on a

F(-r) ^J{{x).dx^

— aSi —

on a «gaiement

F(X)=//(X).rfX.

Soit proposée , par exemple , la diifércntielle dy = x^~‘.s\n.{a-\rbfT)dx.

ELn multipliant et divisant par mb on peut écrire

mt.{a+bar).mbx^-'dx.

Or, mbxT‘~' dxtsl la différentielle de la fonction a-*-bx^ qui se trouve sous le signe sinus. En posant donc X=o+ijc", nous aurons

* gin.X.<«i

mb

dont llkitégrale est

C 7 cos. X = C •

mb

mb

cos.{a+bx^) ,

comme on le vérifiera en appliquant les règles de la différentiation.

XXIV. tNTEGRATIOR DES FONCTIONS RATIONNELLES ENTIÈRES ET FRACTIONNAIRES.

363. On entend par fonction rationnelle entière de la variable x toute fonction formée de termes où il n’entre que' des puissances d« cette variable dont l’exposant est un nombre entier. Telle est là fonction différentielle

^ dy=z{a + bx*+cacf-^dxP>^‘etc.)djc

dans laquelle a,b,c,..,. sont des constimtes quelconques

et m,n,p sont des nombres entiers positifs ou né-

gatifs. Une telle fonction peot toujours être intégrée, et son intégrale estévidemment, d'après ce qu'on a vu dans l’article précédent,

bæ!‘ + ‘ cx*+' • dxP+'

y = L + ax + — + — H — +etc.,

G désignant la constante arbitraire. Il faut remarquer seulement que si l’exposât dé x dans l’un des termes

était — 1, en sorte que ce terme lût —dx, son intégrale

serait h.lx.

De plus , la diflérentielle précédente s’intégrerait encore de lamémemanière si les exposants m, n,p — avaient des valeurs quelconques non entières.

SSii.. 8i l’on donnait la fonction difiérentielltf sous la forme '

dy = [a-\-bx^-\-ca^-^eus.Ydx^

r étant un nombre entier, on la ferait rentrer dans la précédente en développant parla multiplication la puissance indiquée.

Mais si l’on avait simplement

, dy z=[a+bx)'dx qui peut s’écrire ^

dy {a-{<bxYbdx ^ *

on remarquerait que bdx étant la diflérentielle de a-^Xj la fonction proposée se trouve dans» le cas dont il a été question dans lcn'’262, en sorte que l’on a immédiatement^ en posant a+èx= X,

Digilized by Googic

De même si l’on avait

<fy={à-^ bar‘yx"'—'da: , on trouverait par une remarque semblable n . {a+bjry + '

265, Considérons maintenant les fonctions fractionnaires rationnelles dont la forme générale est

dy — dx ,

x!^-^px'~'-\-qX'—*-^ + r

a, b, c,.....yet p, q, t désignant des coefficients con-

stants quelconques; m et. n des nombres entiers. Nous remarquerons en premier lieu que si l’exposant m dans le numérateur surpassait l’exposant n dans le dénominateur, on pourrait, par la simple division algébrique , changer la fraction qui multiplie dx eu une fonction entière à laquelle se trouverait ajoutée une nouvelle fraction dans laquelle le plus grand exposant de x dans le numérateur serait plus petit, d’une unité au moins , que le plus grand exposant dans le dénominateur. L’in- . tégration de la fonetton entière s’ellectuerait d’après ce qui a été dit danâ le n” 263. Ainsi , l’intégration de la diflércnticllc proposée sc ramène toujours au cas oùl’<n~ posant m est au plus égal à n — 1 . .

Cela posé, soit eu général

une fraction rationnelle, F(x) désignant un polynôme en xdu degré n, delà forme et

f[x) un autre polynôme en x du degré n — 1 au plus. Supposons qu’ayant écrit l’équation

cette équation ait été résolue par les méthodes connues , et qu’on en ait déterminé en nombres toutes les racines réelles et imaginaires. Désignons par a, a,, a„ etc. les racines réelles; para+ÇJ/— t , <y, +6.|/CHÏ, |/=T.

etc. les racines imaginâmes ; et par conséquent par x — a, X — a„ X — a„etc., les facteurs simples correspondants à chaque racine réelle; et par (x — »)*+6*, (x —

( X — 3',)'+®.’, etc. , les facteurs du second degré correspondants à chaque couple de racines imaginaires. Supposons en premier lieu qu’il n'y ait pas de racines égales entre elles. On sait par la théorie des équations que le polynôme F(x) est égal au produit des facteurs simples ou doubles correspondants aux racines de l’équation F(x)=0; et nous remarquons que l’on peut toujours poser

" , + ■ " ' + — — + etc.,

Mx+N. ^ M.x+N. M.X+ N.

+ etc., •

A, A„ A,, etc. ; M, M,, M„ etc; et N, N„ N,, etc., désignant des constantes ; puisqu’en réduisant les fractions

du second membre au même déjiominateur, le dénominateur commun sera et le numérateur un polynomë

en X du degré n — 1 que l’on rendra identique avec le polynôme /(x),, en posant n — \ équations du premier degré, c’est-à-dire autant d’équations qu’il existe de

constantes indéterminées. La fraction proposée se trouvera décomposée de cette manière en fractions partielles de la forme , ou , ^ . '.Quant à ladétermi-

nation des constantes qui forment les numérateurs des fractions partielles, on pourra l’effectuer très-simplement de la manière vivante.

266. Proposons-nous de déterminer le numérateur A delà première fraction simple-^ — et posons pour

abréger

en désignant par <p(x) le produit de tous les facteurs du polynôme F(x) à l’exception de x — a. Nous pouvons écrire au lieu de l’équation précédente

•w (x) désignant une fonction entière de x, et si nous multiplions les deux membres par F(x), il viendra

/Ix)=Am +

Or, si 1 on supposait x=a, la fraction multipliée par A

0 ' deviendrait — , et donnerait pour sa véritable valeur, d’a-

Digitizix: by

près la règle des numéros 9i cl suivants, F'(a), tandis <[ue le terme suivant se réduirait à zéro. Donc '

yf«)=A.F'(a), ■ d’où

en désignant par F'(a) la valeur que prend le coefficient di llérentiel du premier ordre de la fonction F (or) lorsqu’on y suppose x= a. Il est visible que les numérateurs des fractions simples suivantes se détermineront de la meme manière > et qu’on aura également

F\aJ

etc.

11 n’est point à craindre d’ailleurs que les valeurs de F'(a), I^’(u,), F'(nJ, etc., ne se réduisent à zéro : cela ne pourrait arriver qu’autant qu’il y aurait au moins deux racines égales à a, a„ a„ etc., ce qui est contre la snpposition.

267. Les numérateurs des fractions simples correspondantes aux racines imaginaires peuvent être déterminées d’une manière semblable. Soit la fraction

on peut la mettre soùs la forme

p Qt/3ï P+Qt/^ 2P(x— al+2Q6