X—OL

et l’on a M=2P, N= — 2Pa-+-2Q6. En employant le même raisonncm,ent qui vient d’étre présenté, on conclura donc que les quantités P,. Q doivent satisfaire à l’équation

F'(«+el/^) ’

qui se partage en deux équations distinctes lorsqu’on égale séparément les termes réels et ceux qui sont affectés du radical imaginaire — 1, et qui suffit par

conséquent pour déterininer les deu? quantités dont il s’agit. On aura delà même manière

P.-Q.|/ZT=^^!üS|p,

puis • •

et ainsi de suite.

268. Si l’on suppose en second lieu que l’équation F(or)=0 posée dans le n" 265 a plusieurs racines égales à la racine réelle x= a, la décomposition de la fraction

proposée — On écrira

pourra s’opérer de la

miuiière suivante.

/(■r)^ A A, A, Aj,. ■^{x)

F(x) (x — (x — af-' (x— a)*-’ "" x—a ^{x)

en désignant par k le nombre des racines égales dont il s’agit ,'par A, A,, A,,'....Ak, des constantes indéterminées ; par ^ (x) le produit de tous les facteurs du dénominateur F(x^ à l’exception du facteur (x — a)‘, en sorte que l’on a (x — a)‘. f (x)=F(x); enfin pour <m (x) un polynôme entier en ^ dont le degré est inférieur à la plus haute puissance de x contenue dans <p (x). Il est visiblp qu’en réduisant toutes les fractions du second membre

etc.

au même dénominateur^ qui sera F(x), on pourra rendre les deux membres identiques en disposant des constantes

A,A„ A, A*,. Pour déterminer les valeurs de ces

constantes, nous remarquons qu’après la réduction au . même dénominateur 'dont on vient de parler l’équation préc^ente devient simplement

Or en la différeutiant une , deux , trois fois, etc. , puis faisant après les différentiations x= a, cette équation donnera les suivantes,

. y (a)=A./ (a)+A,. v (a)+ y (à‘i=A.<p" (a)+A,.2T' («)+A,. 2, (a) /’"(a)=A.?'"(«)+A..3f(a)+A,. 6?'(a)+A,. CyCa) /^(a)iaA.î'’'(a)+A,.4?'"(a)+A,.12T"(a)+A,.2*f'(a)+A^.24T(a)

au moyen desquelles les valeurs de A, A,, A,, Ai,

pourront être calculées successivement. Ces valeurs dépendront , comme on le voit, des fonctions, dérivées successives de la fonction f (x), qui est coimue, puisqu’elle est le quotient de la division du dénominateur F(x) par (x — a/. Mais si l'on ne veut point calculer cette fonction, on remarquera qu'en prenant dans l’équation

les coefficients différentiels ou fonctions dérivées des divers ordres de chaque membre on trouvera généralement pour l’expression de la fonctiou dérivée d’un ordre quelconque désigné par t.

FiO(x)=: K^7-\){k—2)....{k—i+i)[x—a)>-‘ .y (x)

'*’ 4 -^ — <*)*,• •fW(j')

d où l’on voit facilement qu'en faisant a dans les fonctions dérivées des ordres k,k-^\,k+^, etc. , il viendra •

Fl*+.)(a)= (^+1)-^(A-1 j(^^ 2),..,...2.1?' (a)

elc. ■ ■

équations par lesquelles les quantités ç(a), y' (a), etc., se trouvent dé terminées au moyen des valeurj que prennent les fonctions dérivées des ordres k, , k+<i

etc. , du dénominateur F (x) lorsqu’on y fait x = a.

269. S’il existait dans l’équation F(x)=0 d’autres racines réelles égales entre elles , par exemple k racines égales à a„ on concevrait de même que la présence du facteur (x a,)'* dans le^polynome F(x) donnerait lieu

dans la décomposition de la.fraction proposée à la

presenCp' des fractions simpl$s.

(X— ajk (x— ^(x— "^x—

riiiiiîiz.-jd by -- -fw>gk

— ago — .

et l’oQ emploierait pour le calcul des constantes A, Â,, les formules données ci-dessus, dans lesquelles il ^udrait regarder ^(ar) comme représentant le quotient de la division de F(x)par le facteur (ÿc — «,)'■. lien serait de même s’il se trouvait un plus grand nombre de raéines multiples.

270. Ces "procédés s'étendront d’ailleurs facilement au cas où il y aurait des racines imaginaires multiples dans l’équation F(x)=0. Si l’on représente en efïet par

j^(x — a) J Pmi Jes facteurs du polynôme F (x) , et

si l’on veut déterminer les fractions simples auxquelles la présence de ce facteur doit donner lieu , on écrira

^(x) Mx-fN MiX+N, l\I,x+N, ^ »(x)

en désignant par ÿ(x) le produit datous les facteurs dont se compose le polynôme F(x), à l’exception du facteur

• Lorsqu’on réduifa le second membre

au même donérainateur, cette équation deviendra

/Ix)=(Mx+N).ç(x^-HM.x-t-N,)[(x— «)’+€‘].ç(x)+....+[(x-«)’-l-ê’]‘.<»(x).

Si l’on prend les différentielles successives, puis que l’on donne à xles valeurs x=* + e|/HÏ réduisent à zéro

le facteur (x — 7)’+ft’, on obtiendra, en remarquant que chacune de ces équations se partage en deux lorsqu’on égale séparément les partias réelles et les parties imaginaires , le nombre d’équations nécessaires -,^ur la détermination des constantes M et N, M. et Ni, M. et N„ etc.

Il en serait de même si le dénominateur de la fraction proposée présentait d’autre/ racines i^ginaires et multiples. **

271. Revenons maintenant à l’intégration de la fonction différentielle

, ax"-\-bx^ -'-\-cx''—*+ +/* J

(lY— ■ ax

x'+px^—'+qx^~*+ + t

que nous nous sommes proposée n° 265. D’après ce qu’on a vu dans les numéros précédents , on pe|^ toujours, par la décomposition de la fraction qui multiplie dx en fractions plus simples , faire dépendre cette intégration de celle desdifférentielles suivantes ,

Adx Adx (MLr+N)dlr ^

tout se réduit donc à intégrer ces dernières différentielles. Or, en se rappelant ce qui a été dit n* 259, on voit sur-lè-cbamp , 1® que ’

donne .j'=C+A./(x — a).

G représentant toujours la constante arbitraire introduite par l’intégration ;

2* Que

Adx (x— a)l

donne