a® Que
dy —
(Mx+N)rfx
M{x^— «)<ix
Ma+N dx 6 6
aga —
donne
M „ *5 M«+N ^ x—cc
y=C+ ^ — a) +€^+ — ■^ — . arc. tang.
273. 4.'' Enfin, qu’à l’égard de la fonction différentielle ;
(Mx+N)<ix M(.^-»-«)rfj:'+(M«+N)^
la première partie
M(x — a)dx
a visiÙement pour intégrale * •
et quant à la seconde partie
Ma+N dx (Ma+N)dx e>*-‘ e
qu’on peut eireffectuer l’intégration comme il suit : .
Posons ^ -=f,^’où— cette dernière différentielle deviendra
Ma+N dt 6*‘t* ■ (t’+l)*’
en sorte qu’il s’agit d’intégrer la fonction différentielle
di
Or^ cette fonction pouvant se mettre sous la forme suivante ( en ajoutant et retranchant t'dt au numérateur)
dt Ûdt
on a donc
f' dt P dt ('
t'dl
(iW
t'dt
dt
Mais en considérant dansl’intégrale^ (^*+1)*^ deux
facteurs ^ et ) et appliquant le procédé de l'in-
tégration par parties conformémenb a ce qu’on a vu dans le n“ 260 , il vient ^
/ t’dt t 1 rdt 1
(£’+l)k 2 ' (A— V "2 (A— l)(£>-hl)*-‘’
et en substituant dans l'équation précédente^
/ dt t 2A— 3 P dt
Ainsi l’on fait dépendre l’intégrale cherchée d’unerautre intégrale de même nature, dans laquelle l’eiposant A du dénominateur est diminué d’une unité. En continuant de la même manière on trouve pour l’expression de l’intégrale dont il s’agit
1 2 £*+i ^ 2 jt'+ir ,
, arc. tang. £.
s tan tes quelconques , et c une quantité constante positive. On peut toujours alors rendre cette fonction rationnelle, et par conséquent en effectuer l’intégration au moyen des procédés qui ont été présentés dans l’artidé précédent.
Eh premier lieu , lorsque le signe du terme caf est+, on posera , en désignant par t une nouvelle variable ,
\/a+bx-\-cx'—t — l^.x, ou a + bx = t' — ^\/c.tx-,
d’où
et dx =
S(\^.f+bt + al^)dt Xak'é.t+t)’
valeurs dont la substitution rendra évidemment la fonc'tipn proposée rationnelle.
276. En second lieu , lorsque le signe du terme ex' est J la fonction proposée deviendra également rationnelle si l’on pose
\/a+bx — c*" =xt— yâ.
ou
‘CX SS Xt •
d’où
et =
aCcJ/ a — bt — y a.^)dt
Mais comme cette transformation , dans le cas où la quantité a serait négative, introduirait des termes imaginaires dans la différentielle proposée , on peut alors procéder de la manière suivante. Remarquons que l’on est ici censé opérer sur des quantités réelles , et par conséquent
sur des valeurs de x telles que le radical \/ a+bx — ex'
soit réel. Donc le trinôme a+bx — ciif a des valeurs
positives; d’où il suit que l'équation ar’ —
a ses deux racines réelles. Représentons par p et p^, ces racines. Nous poserons ,
ork-bx—cx'= c{x—p)[p—^)=[/c(x—p)t , ou p—x=(x—p)f-,
d’où l’on déduit
et
Ces valeurs rendront rationnelle la différentielle proposée sans y'ûdroduire des quantités imaginaires.
277. L’irrationnalité d’une fonction différentielle peut également disparaître lorsqu’elle résulte de la présence de deux radicaux différents du premier degré , tels que
]/ a+x, \/ ô+x, en écrivant
d’où xms^ — by dx=2t.dt.
Cette transformation fait disparaître le second radical en
donnant au premier la forme (/a— ce qui ramène la fonction proposée au cas du n° 275.
278 . Nous Ihdiquerons les applications les plus simples des procédés qui viennent d’être exposés.
Soit « »•
la transformation du n° 275 changera cette différentielle
, ^ 2dt •
dy— — :: .
Donc
ou en remplaçant t par sa valeur en x,
jr = C + -A :- 1 (b+2cx+2iyël^ a+àx+cx^) ;
ou, ce qui revient au même,
,r=CH z-i( — 7 Z + yc.x+ya+bx+cx').
yc \2Uc
c désigne toujours la constante arbitraire introduite par l’intégration
