Dans le cas où cette différentielle serait
dx
dy.
on sait que l’on aurai tjy= G + arc sin. x. En effet , la première fonnule du n° 279 donne
^Œ=C — âarctang.
Soit arc sin. x=if : cette expression deviendra
„ - 1+cos.® „ „ 2
j'csC— 2 arc tang. -—7^ — - s=C — 2 arc tang. ^ =c C +«p.
^ sin. — P
^ De même , la seconde formule du ja* 279 donne
^^=0 — 2 arc tang. ;
c’est-à-dire
t + JC
— arctang. ,
1 + ar
ou
^ 1 — ^ cos.* „ /jr \ „
C — arc tang = 0 — arc tang.-: — =C — = C+f.
282. Remarquons, d’ailleurs, que l’on pourrait déduire l'intégrale de la fonction différentielle
dx
de la formule du n“ 2^8 en y faisant a ^ 1 , J = 0, c= — 1 . On trouverait ainsi l’expression imaginaire
j^=Gh — — . / (xi^ — 1+ 1^1 — x’).
Pour que cette expression s’accorde avec l’expression réelle^ = C+arc sin. x, il est visible que l’on doit attri-
— 3oo —
buer dansrune etl’autrela même valeur à la constante arbitraire, puisqu’elles donnent égaleraentj^K C quand on y fait x= 0. Donc
arc.sin.x = — - — .iCx]/' — — x’),
ou
sin.if).
équation qui s’accorde avec ce qu’on a vu dans l’article XII.
283. Nous remarquerons encore que pour effectuer l'intégration de la* différentielle <
dy = -
dx
aybx — ex’
il peut paraître plus simple de ne pas employer l’une ou l’autre des transformations dont on a fait usage n° 279, et de ramener immédiatement cette "différentielle à la dt
forme
dy =
. On aura de cette manière dx
dx
dx
dont l’intégrale est
ou
arc sin.
y= C + arc sin .
2cx — b V' \ac+b'
Cette nouvelle expression ne diflére encore de celles qui ont été données n“ 279 que parla valeur de la constante arbitraire.
On pourrait ramener de la même manière la différentielle
dx *
y^a+bx-^cx'
dt , V - **
à la suivante - , ■■ , dont l’inté^ale a été donnée
Kl+P *
n'‘ 280; mais on n’obtiendrait pas ainsi une expression plus simple que la formule du u’ 278.
Différentielles binômes.
284. Cette expression désigne les différentielles de la forme *
dyz=dx. x^-'[a+bX")i
a et i désignant des constantes, m et « des nombres quelconques, P et q des nombres entiers. Nous remarquerons en premier lieu que la généralité de cette fonction n’est pas diminuée lorsque m et n sont supposés entiers, et même lorsque n est supposé positif. En effet , on passera du cas général à celui-ci par des transformations
3oa —
très-faciles. Cela posé , nous devons chercher en premier lieu les cas où la diilérentielle précédente peut être rendue rationnelle.
1” Si l’on pose d’où
a+bx" ,
et dx=dt.
qtl-'
~Tr\TT~ )
la différentielle proposée se changera en
dy=dt.
Elle deviendra donc rationnelle si
est un nombre en-
tier.
2“ Si l’on pose d’où
et
la différentielle proposée se changera en
Elle deviendra donc rationnelle si — 4-^ est un nombre
entier.
Ces deux cas sont les seuls pour lesquels on soit assuré de rendre la différentielle binôme rationnelle.
285. Nous pourrons , d’après ce qui précède , intégrer toute difierentiellé de la forme
tfy=F\x^,{a-]-bx’‘)i, (a+ij?*)*. (a+ij::»)», etc.]x"— ’.rfx,
'w. n,p, q, r, s, t, u, etc., désignant des nombres entiers , et F une fonction rationnelle des quantités contenues dans la parenthèse. En eliet , la fonction proposée deviendra rationnelle si l'on pose
a+bx’‘=t<i‘
On intégrera également toute différentielle de la ' forme '
J /a+Ax»V /a+èar*V T
'*’=’^L""<3+ÿï) ’ - (^) ’ '“ J
x'-'.dx-,
cette différentielle devenant rationnelle lorsqu’on pose a+bx’'
Ml*...
al+l/x-
