Lorsque la diOérentielle binôme dj'=dx.x"—'{a+bx*y
désignant un nombre fractionnaire) ne peut pas être ' rendue rationnelle , on cherche à la réduire à une forme plus simple en dominant les exposants?» ou p. Ces réductions s’opèrent au moyen de l’intégration par parties, dont le principe a été indiqué n" 260.
1° m étant supposé positif, on diminuera cet exposant comme il suit. Ou a
■ x^—''{a-{-bx“y.x*—'dx
ou ,
x^—*(a+bx*y+' m — n ,
— TTTTTTT ■(a+6x«)^+>.
Mais
fdx.x'*—'~'{a-+-bx*)p+'= {a+baf'Y (a+6j:*)<ir
= afdx.x^—'—' {a+bx^]p-\-by :
doue
x^-»'a+bx’)P+' ‘ m — n [ni-^n)a ^ ,
^=— ÏÏÎTBjî i
OU enfin
j:"— * (a^ba^y + ' — {m — n)a f djc-x"—*—' {a+bx")P {m->rrtp)b
On a fait dépendre l’intégrale demandée d'une autre intégrale de même forme , dans laquelle l’exposant m — 1 est diminué du nombre n. En continuant à appliquer la même formule on diminuera cet exposant du plus grand multiple de n qui y soit contenu.
2° P étant supposé positif, on diminuera également cet exposant de la manière suivante *
y— f dx.x"—‘ {a+bx^y—' ia+bx")
=a Jdx.x"~‘ {a+bx”y~' +bf dx.x" + '‘—' {a+bx"y—'.
Mais la formule du numéro précédent donnera, en changeant m en m+n, et p enp — 1 ,
dx.x"+'‘-'(.a+bx’‘y-
x*(a+b^y — maf dx.x^—'(a+bx^)p~' {m+np)b
et en substituant cette valeur dans l’équation précédente il viendra
x"{a+bx")p+npaf dx.x"~‘ {a+bx^y—' m+np
Au moyen de cette formule, l’exposant p peut dans la <liflérentiellc proposée être diminué du plus içrand nombre entier qui y soit contenu.
3" Si l’exposant m était négatif on emploierait la formule suivante. On a d’après ce qui précède
da: X" — ’—'[<i+bx’y=
X"— (a+bx’')i‘ + ‘—{m+iip)b f dx.x"—' {a+bx")p
{ni — n)rt ’
puis en mettant — rn+n au lieu de m, on a ‘^"ia-^l'^)'‘-^‘M'’‘—n—np)bfdx.x^+’‘-<{a+bx-)P
Si 1' exposant P était négatif, on remarqueraitque, d’après ce qui précède,
fdx.x«^->{a+bx^y-i=- ^ia+b^)-^{m+np)fdx.x-^-^{a^bx^f J npii '
puis en mettant — p+i au lieu de p, il vient
x"{a+bx'’)-P+'—[m-irn—np)fdx.x^-' [a+bx^)-p + • n[p — i)a
^lx.x“—'{n+bx’‘)—P.= -
Les formules précédentes ne pourraient pas être em- , plcyées sironavaitTO+n/> = 0 ou m — n = 0. Mais dans ces deux cas la diflérentielle binôme j)eut être rendue rationnelle, conformément h ce qu’on a vu dans le n" 284. Remarquons , d’ailleurs , que dans les cas mêmes où cette diflérentielle est rationnelle, ou peut être rendue rationnelle , l’usage des formules de réduction dont il s’agit est généralement le moyen le plus simple d’obtenir l’intégrale demandée. On a vu un exemple de cette manière dans le n" 273,
38T. Prenons encore pour exemple la dillérentielle
' dy=i
x'dx ^
yax—x'~
Nous emploierons la première formule du numéro précédent dans laquelle on fera /n=r 4 - n = i,j> = — b= — 1 , et l’on trouvera ainsi
x^>\/ ax — x‘ r
( 2 r — i)a n x'—'dx
En continuant à appliquer la même formule , on parviendra évidemment à la différentielle
dx
l>^ax — X’
qui rentre dans les cas traités dans les numéros 279 et suivants , et -dont l’intégrale qui s’obtient immédiatement d’après ce qu’on a vu n* 283, est
