C-f-arcsin
XW!. INTÉGRATIOK DES FONCTIONS DIFFÉRENTIELLES
LOGARITHMIQUES, EXPONENTIELLES ET aRCULAIRES.
288. Les intégrales des fonctions différentielles de cette nature nes’obtiennent sousforine finie que dans quelques cas particuliers.
On voit en premier lieu , conformément à l’une des remarques qui ont été faites dans le n“ 262 , que si l’intégrale delà fonction différentielle dx f[x)csi connue, on connaîtra également les intégrales des fonctions différentielles
— .f{^x),dx.e*.J{(^), dx .cos.z'^^sia.x), <fx.sin.f y^cos.x),
dx , dx . , <£r ^ ,
— — j.yXarc tang.x), ./lare sm..r), — == ./larccos.x) .
1+-T kl— X* kl— ?
On reconnaît également que le signe f désignant une fonction algébrique des quantités ailectées par ce signe , on pourra rendre algébriques les fonctions différentielles
’dx.JXe^) , dx/(sm.x, cos.x) ,
en posant e* pour la première, et sin. x=t ou cos. x=tpourla seconde. Par conséquent, ces fonctions pourront être intégrées lorsque la fonction f sera rationnelle , ou pourra être rendue rationnelle.
Il en sera de même si l’on a sous le signe de fonction^ les quantités sin. 2x, sin. 3x, sin. hx, etc., ou cos. 2x, cos. 3x, cos. hx, etc., parce que les sinus oü cosinus des arcs multiples peuvent être exprimés rationnellement au moyen des puissances du sinus ou du cosinus de l’arc simple par des formules qui se déduisent immédiatement du théorème de Moivre. (Voyez numéros 117 et suivants.)
289. On voit aussi que les fonctions différentielles transcendantes peuvent quelquefois être intégrées lorsqu’elles sont de la forme
dx.Pz ’ ,
P désignant une fonction algébrique, z une fonction transcendante dont le coefficient différentiel du premier ordre est algébrique, et n un nombre entier positif. Tel serait le cas où l’on aurait z = /. yi[x) ,r = arc
lang./{x), en désignant par^/t-r) une fonction algébrique de Z. A
En effet, en intégrant par parties la différentielle proposée , il viendra, en posant Q^=J'dx.P,
J' <ir.Pz" = Qz“— n J' dxQ.z—'^^;
puis en posant R = Q on aura également
J' ^ir.Qz'— ^=Rz"-'— («— 1) J* «far.Rz—
dz
puis en posant S = f dx. R — ,
j' rfx.Rz»->^=Sz— *— (n— aiy' dx.Sz"-^^-,
et ainsi de suite. Une opération analogue donnerait encore le moyen d’intégrer la fonction proposée si l’exposant n était négatif. Cette opération donnera l’intégrale demandée si l’on peut tcouver l’expression finie des quantités désignées par Q , R, S , etc.
290. Un exemple simple de l’opération dont il s’agit , est l’intégration de la (différentielle
dy = dx{JbcY,
qui donne , n étant un nombre entier positif,
y=C+x{lxY[l-j^+-^. - ^ (/.r)» J- ..
Soit encore
dy = dx.x—'(,lxY,
il viendra
— 3otj —
^ a L cilx a'{lx)' ' a^^lx)" J
291. L’intégration par parties donne de lu même manière l’intégrale de la différentielle
(fy=dx.x^c^. •
On a en effet
dx.x"e^*= J dx.x^—'e“*-,
et.en appliquant la même transformation à l’intégrale du second membre , il viendra
/ix.x-e-=C+— I
a L ax a x J *
On trouvera par le m^e procédé
r <£r.J!:*cos.aj:=C4!— (sin. aarfl — ^^jc tc. I •• a { L a x J
Lax
— sin.^l ' 1.1
ax a^x^
fetc. J I .
