L’intégration par parties donnant
Jdx.
, e°*co&.bx b ^ ,
e“*cos.nj7= 1 fdx.ef‘*s\n.bx
dx.e/^%m.bx=-
e^^àxi.bx b
f dx.e^*co%.bx,
on tire de ces deux écjualions
— . 3io —
/ . 1 . « acos.bx+bam.bx
<ir.e"cos.6x=Cf r-r:: «*'
dx.e**sia.bx=C-
a‘+b‘ asin . bx — beos, bx
La connaissance de ces deux intégrales mettrait à même d’intégrer les diüérentielles e?x.x" e“' cos. ix et <Lc.x"e“'sin. bx, par le procédé dont on a fait usage dans le numéro précédent.
293. Lorsque les difiérentielles contenant des fonc^ tions transcendantes ne peuvent être intégrées sous forme finie, on cherche au moins à les faire dépendre de fonctions plus simples. Parmi les formules de réduction employées à cet cllét nous distinguerons celles qui conviennent à la différentielle
<ir.sin."x.cos.*x ,
m et n représentant des nombres quelconques positifs ou négatifs.
On ^eut remarquer d’abord que cette différentielle se ramène facilement aux différentielles binômes , dont on s’est occupé dans les numéros 2811' et suivants. En; effet on a
dy=dx . siiK“x(l — sin.’x)* ;
puis en posant sin. x = t, d’où dx—
dt
fonction qui deviendrait rationnelle si n était impair. On pourrait donc employer les formules de réduction du
n* 286. Mais il conyient mieux d’t^érer directement sur la différentielle proposée.-
1“ Si l’exposant m est positif, on diminuera cet exposant sans augmenter n, en observant que
/sin."— 'j.cos.’jj. sin.a'dx.
Donc
sin,“— 'j:,oos.»+'jr m — 1
+ Jdx.s\n.i‘-‘x. cos."-***j?,
ou
8in."-'x.cos.»+'j: m — 1,,, .
+ ry«ir.»in.»-*j:.cos.*J:— J'],
équation d’od l’on tire
sin."*~ ' x.cos." ’ ar. m — 1
.sin .“x.cos .*x=
+ f <£r .sin."~*J:.cos ."a:.
2® Si f exposant 71 est positif, on diminuera cet exposant sans augmenter m , en employant la formule suivante , que l’on obtient d’une manière semblable ,
rfx.sin.“a;,cos."j:=
sin.'"-+-'j:.cos.*— 'X n — 1 , .
H /<£r.sm.“x.cos." *x.
3® Si l'exposant m est négatif, on remarquerait que l’on tire de la première équation qui vient d’être obtenue
/ sin.“-'x.cos.''+'x 77J+7» , ,
<ir.sin."-’x.cos."x= + 7 /dx.sin."x.cos.«jr-,
et en changeant m en — 7 t»-|-2 , cos.'j: cos." + 'x
sin."x
OS." + 'X 77» 71 2 r COS.*X
-1)810."*— 'X ^ 771 — 1 »/ sin.^-’a
4" Ën6n, si l’exposant n était négatif, on remarque- , rait également que la seconde des équations qui vien-
• nent d’étie obtenues donne
J . siD.”=+'j;.cos."— 'J- m+n , , ,
ax.sin."j:.cos."->jr= 1- -r — f dx.smrjrjios
et en changeant n en — n-t-2 ,
dx
6'sin.^x
sin.*
cos."x {ri — l)cos."~'x
— / dx
sin.™x
cos."~*x"
294. Parmi les cas particuliers compris dans les formules précédentes on peut distinguer les suivants ;
/ • si
<ix.sin."x =
sin."— 'x.cos.x m — 1
1 Jdx.sm.*‘~‘‘x
/ , sin.x.cos."— ’x n — 1
rfx.cos."x= 1 /</x.COS."->X
dx cos.x m — 2 /* dx ’•
J siii.^x (/»— l)sin."— ’x^m — 1 J sin.^-'x
/ dx sin.x n — 2 , P dx
cos."x {n — l)cos."— 'X n — iJ cos."“*x
/ sin."x r tang.”— 'X , ,
r cos."x r cot."-'x
/ dx- = / rfx.cot."x= jrfx.cot."-’x.
J sm."x J n — 1
295. D’après les réductions indiquées dans le n» 293 , on fera toujours dépendre l’intégration des différentielles de la forme dx. sin. "x. cos. "xde l’intégration d’autres différentielles de la même forme , mais dans lesquelles les exposants m et’ n ne dépasseront pas 1 et — i . Et lorsque les exposants met?» seront des nombres entiers ffuelronques positifs ou négatifs , l’intégration de la
différentielle proposée se trouvera dépendre définitivement de l’intégration de l’une des neuf différentielles dont nous donnons ci-dessous les intégrales , savoif :
cLr = C-|-jr, ^dx.sw.x.cos.x=C+^.sin.’x,
/ —. ^ =C+/.tanff.j:, /”«fjr.simjj=C — oos.or,
sin.jr.cos.x •
/ , sin.a: , f dx ^ , x
dx ; =C — l.cos.x, I =C+/.tan". — ,
cos.a: ’ J sin.x ” 2
