XXVII. INTÉGRATION PAR SÉRIES

297. Une fonction quelconque pouvant en général être développée en une série ordonnée suivant les puissances entières.de la variable , on peut obtenir sous la même forme l’expression de l'intégrale d’une différentielle quelconque. Ainsi , comme l’on a en général d’après le n* 81

f'n fn 0

/x=/0+/0.x+-^-^x'+y ^ x‘+etc..

on aura également

C désignant la constante arbitraire qui doit être ajoutée pour donner à l’intégrale la généralité nécessaire. Cette expression en série de l’intégrale //ilr. J"x peut être employée toutes les fois que la série est convergente.

Nous remarquerons de plus qiie si la série qui donne le développement de Jx est convergente, la série qui

donne le développement de / dx.fx le sera à plœ forte raison. En effet , le développement de fx ne peut être convergent qu’autant que le terme complémentaife

{Voyez n*86)

devient plus petit que toute grandeur donnée, pour les valeurs de x comprises entre 0 et x , lorsqu'on augmente indéfiniment le nombre (*. Soit Q la plus grande valeur

du facteur

Si la condition énoncée subsiste.

il est visible quelle subsistera pour la quantité

et à plus forte raison pour le terme complémentaire de la série qui représente l’intégrale

298. Lorsque la fonction fx se trouve dans les cas d’exception qui ont été remarqués numéros 88 et suivants, c’est-à-dire lorsque le développement de cette fonction contient des puissances fractionnaires ou négatives de X, on peut également employer ce développement pour obtenir l’expression de l’intégrale jdx.fx en série , expression qjii pourra servir au calcul numérique de cette intégrale si la série est convergente.

299. L’intégration par série est quelquefois le procédé le plus simple que l’on puisse employer pour obtenir le développement d'une fonction suivant les puissances entières ascendantes ou descendantes de la variable.

On a , par exemple ,

donc

dx

l+JT

—dx{i — x+Jd — x*+ JT* — etc.) ;

/ dx „ x' ad X* sd

La constante arbitraire C doit être déterminée de manière que l’égalité des deux membres subsiste pour une valeur quelconque de x. Or, on faisant a:=0le premier membre se réduit à zéro , et la série du second membre disparaît. DoncC = 0; d’où l’on conclut

x' jd JC* jd

/(l+x) = :.--+3-^ + j-etc., comme on l’a vu U® 102.